Introdução à Álgebra: Equações

No post anterior o resumo teórico foi sobre Introdução à Álgebra. Se não conferiu ainda, você confere aqui. Agora que já sabemos o que são Variáveis e Expressões Algébricas, podemos falar em Equações!

Introdução à Álgebra: Equações

Define-se Equação como a igualdade entre duas expressões algébricas. Simplesmente isso! Seguem abaixo três exemplos de equação:

a) a + b = 7

b) x + 3y = 12

c) 3m = 2n – 11

Guarde isso: A diferença entre uma Equação e uma Expressão Algébrica é que numa equação existe o sinal de igualdade (“=”).

Termos da Equação

O termo de uma equação é definido como o produto de um número por uma variável. Não importa em qual lado da igualdade os termos estão. Também é definido como termo quando um número aparece sozinho. Nesse caso, dá-se o nome de constante para esse termo.

Exemplo 1: Quantos termos têm as equações abaixo:

a) 2a = 6  (dois termos)

b) x – 3y = 0  (três termos)

c) 3p + 4q – 2r = 7  (quatro termos)

Problemas envolvendo Equações

Como nós vimos no post anterior, as expressões algébricas (e portanto as equações) são usadas para traduzir em linguagem matemática problemas do cotidiano, com o objetivo de se achar uma solução para esse problema.
Exemplo 2: Estou lendo um livro de 130 páginas, e estou na página 87. Quantas páginas ainda faltam para o final? Transformando em linguagem matemática: 87 + p = 130, onde p representa a variável “páginas faltantes”.

Exemplo 3: O pai tem o triplo da idade do filho menos 4 anos. Se o pai tem 44 anos, quantos anos tem o filho? Transformando em linguagem matemática: p = 3f -4, onde p e f representam as idades do pai e do filho, respectivamente.

Como resolver esses problemas? Para isso, precisamos achar a solução da equação!

Solução da Equação

Solução de uma equação é o número que, quando colocado no lugar da variável da equação, torna a igualdade verdadeira.
Exemplos:
a) Na equação x + 3 = 5: substituir a a variável x por 2 torna a igualdade verdadeira (2 + 3 = 5) \Rightarrow x = 2 é a solução da equação x + 3 = 5.
b) Na equação 3m + 4 = 7: substituir a variável por 1 torna a igualdade verdadeira (3*1 + 4 = 7) \Rightarrow m = 1 é a solução da equação 3m + 4 = 7.

Técnica para Resolver uma Equação

Resolver uma equação é achar a solução da equação. A técnica clássica é isolar os termos da equação, ou seja, de um lado da igualdade devem ficar os termos contendo as variáveis e, do outro lado, os termos sem variáveis (constantes). Ok?
Atenção: Ao se aplicar essa técnica, deve-se prestar muita atenção para o fato de que um termo, ao mudar de lado da igualdade, muda de operação matemática, ou seja, se o termo for positivo, passa para o outro lado negativo (e vice-versa); se estiver multiplicando, passa para o outro lado dividindo (e vice versa).
Agora vamos usar como referência os Exemplos 2 e 3!

a) 87 + p = 130 \Rightarrow p = 130 – 87 \Rightarrow p = 43 (solução da equação: faltam 43 páginas para o fim do livro)

b) p = 3f – 4 \Rightarrow 44 = 3f – 4 \Rightarrow 44 + 4 = 3f  \Rightarrow 48 = 3\Rightarrow f = \frac{48}{3} \Rightarrow f = 16 (solução da equação: se o pai tem 44 anos, o filho tem 16 anos)

Explicações:
Na letra a), do lado esquerdo da igualdade ficou o termo com a variável (p); o termo 87 que era positivo, passou para o lado direito mudando de sinal, ficando negativo.
Na letra b), para poder resolver a equação, usamos o conceito de atribuir valores à variável visto no post anterior, de Introdução à Álgebra – Variáveis e Expressões Algébricas. Com isso, do lado direito da igualdade ficou o termo com a variável (3f); o termo -4 que era negativo, passou para o lado esquerdo mudando de sinal, ficando positivo. Em seguida, o número 3 está multiplicando a variável f, portanto, ao mudar de lado da igualdade, ele passa dividindo.
Tranquila essa parte da Introdução à Álgebra? Espero que sim!
Fique sempre de olho no Blog do Kuadro e no Canal do Kuadro para mais Resumos Teóricos. Até mais!

Introdução à Álgebra: Variáveis e Expressões Algébricas

Neste post vamos fazer um resumo teórico sobre introdução à Álgebra e definir o que são variáveis e expressões algébricas.

Introdução à Álgebra:

O que é Álgebra?

Álgebra (do árabe al djabr  – “redução”) é o ramo da Matemática que tem como objetivo resolver problemas nos quais as grandezas envolvidas não são imediatamente conhecidas. Para tanto, faz uso de expressões envolvendo variáveis, as quais representam os valores numéricos que se deseja conhecer.
Quando falamos em fórmulas em Matemática, estamos falando de Álgebra!
Por exemplo, a famosa fórmula da área de um triângulo: A_{\Delta}\frac{b*h}{2}, onde b e h são a base e a altura de um triângulo, respectivamente!

Fórmula da área de um triângulo qualquer.

Outro exemplo, a expressão que converte temperatura da escala Celsius para Fahrenheit: \frac{T_{C}}{5} = \frac{T_{F}-32}{9}, onde T_{C} e T_{F} são as temperaturas em Celsius e Fahrenheit, respectivamente!

Escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit.

Variáveis

De maneira bem simples: Uma variável é um símbolo (geralmente, uma letra minúscula do nosso alfabeto) que tem como função representar um número! Uma variável também pode ser chamada de incógnita, ou seja “aquilo que não se conhece”.
Observação: Uma sentença matemática que apresenta ao menos uma variável é chamada de Expressão Algébrica.
Por exemplo, na expressão algébrica 27 + x, x é a variável. Se o valor de x for 3, a expressão terá valor: 27 + 3 = 30! Outro exemplo, na expressão 5 – b, se o valor da variável b for 5, então a expressão fica 5 5 = 0.
Mais exemplos de sentenças com valor desconhecido:

Exemplo 1: “Se Pedro tivesse mais 2 pontos na sua nota em história…”

p + 2  (variável p é a nota de Pedro em história)

Exemplo 2: “Com  o dobro da minha mesada mais R$20,00…”

2m + 20  (variável m é a minha mesada)

Observação: Quando um número está multiplicando uma variável (como no Exemplo 2 acima), não é obrigatório escrever o símbolo de multiplicação (“x” ou “*“).
Expressões algébricas podem ter mais de uma variável, sem problema algum! Por exemplo, se alguém diz “a diferença de idade entre Vítor e Jonas é 5 anos”, poderemos escrever essa sentença como: v – j = 5. Tranquilo?

Exemplo 3: Identifique as variáveis nas expressões:

a) 5k+ 1  (variável é k)
b) 19 – y   (variável é y)
c) 2h – 3w   (variáveis são h e w)

Banner geral

Exemplo 4: Elabore as expressões com variáveis das seguintes sentenças:

a) “Júlio precisa de mais R$3,00 para comprar o ingresso”    R: (j + 3)
b) “A diferença de altura entre Paulo e Cássio…”   R: (p – c)

Variáveis estão presentes em todos os ramos da Matemática.

Atribuindo valores numéricos às Variáveis

Não podemos perder de vista que a função de uma variável é “guardar” o valor desconhecido de uma expressão. Esse valor é numérico e ao se atribuir valores à variável, a expressão muda de valor.
Por exemplo, em Geometria Plana, sabemos que o perímetro (o perímetro em matemática é tradicionalmente representado por 2p) de uma figura plana é a soma dos lados dessa figura. Por exemplo, num quadrado de lado a, temos:

2p = a + a + a + a  \Rightarrow 2p = 4a


Pois bem, seu nós soubermos o lado do quadrado, saberemos quanto vale seu perímetro!

Exemplo 5: Quais os perímetros dos quadrados de lado a) 5m, b) 10m, c) 200m?

a) 2p = 4a = 4*5m \Rightarrow 2p = 20m

b) 2p = 4a = 4*10m \Rightarrow 2p = 40m

c) 2p = 4a = 4*100m \Rightarrow 2p = 400m

Exemplo 6: Ainda falando de perímetro, como fica a expressão algébrica para o períemetro de um retângulo de lado maior m e lado menor n?

Resposta: 2p = m + n + m + n  \Rightarrow 2p = 2m + 2n

Pergunta 1: Considerando o exemplo 6 acima, calcule os perímetros dos retângulos nos seguintes casos:

a) m = 6 e = 4

b) m = 10 e = 7,5

c) m = 2,5 e = 1,25

Um dos objetivo deste post é desmistificar o uso de letras em matemática! Como você pode notar, as letras (na verdade, as variáveis) são muito importantes para a formulação e resolução de problemas!
Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico de introdução à álgebra? Espero que sim!
Fique sempre de olho no Blog do Kuadro e no Canal do Kuadro para mais Resumos Teóricos. Até mais!

LOGO-KUADRO-branco

PDF – MÉTODO KUADRO DE APROVAÇÃO

Preencha o formulário e receba o seu PDF