Resumo Teórico – Função do Primeiro Grau e seu Gráfico – Parte 2

Neste post, vamos continuar trabalhando com função do primeiro grau e seu gráfico. Vamos aprender a calcular os coeficientes angular e linear e também falar de taxa de variação da função! Se você não viu a primeira parte deste conteúdo, clique aqui.

Calculando os Coeficientes a e b a partir de um gráfico dado

Muitas vezes em um determinado problema, é dado um gráfico pronto e você precisa tirar conclusões a respeito. Normalmente, nesse tipo de problema, é importante descobrir a expressão matemática da função – em outras palavras, você vai precisar determinar os coeficientes angular e linear (a e b)!
Vamos usar o Exemplo 1 abaixo para ilustrar o passo a passo.

Exemplo 1: Dado o gráfico abaixo, vamos determinar os coeficientes a e b.

Dado um gráfico linear, como determinar os coeficientes a e b?
Dado um gráfico linear, como determinar os coeficientes a e b?

Vamos considerar os pontos P e Q no gráfico, conforme ilustrado abaixo:

Definindo os pontos P e Q, podemos calcular os coeficientes a e b!
Definindo os pontos P e Q, podemos calcular os coeficientes a e b!

Do conhecimento adquirido no post de plano cartesiano, sabemos que o ponto P é o par (0 ; 2) e que o ponto Q é o par (-1 ; 0). Correto?

Ora, também sabemos que os pontos P e Q pertencem à reta do gráfico. Se pertencem ao gráfico, então os pontos P e Q obedecem à lei de formação da função linear y = ax +b, certo? (Lembra do post de função da definição?).

Então certamente podemos fazer:

  • P (0 ; 2) \Rightarrow x = 0 e y = 2, mas  y = ax +b \Rightarrow  2 = a*0 + b \Rightarrow 2 = 0 + b \Rightarrow b = 2 
  • Q (-1 ; 0) \Rightarrow x = -1 e y = 0, mas  y = ax +b \Rightarrow 0 = a*-1 + b \Rightarrow mas b = 2 \Rightarrow 0 = -a + 2 \Rightarrow a = 2 

Então, com os pontos P e Q, calculamos os valores de a = 2 e b = 2!

E como fica então a expressão matemática da função do gráfico? Fica: y = 2x + 2!

Observações

Observação 1: Note que a reta do gráfico cortou o eixo y no ponto P(0 ; 2). E que o valor do coeficiente linear b = 2, certo?
Conclusão: o valor do coeficiente linear b é sempre igual a ordenada do ponto em que a reta do gráfico cortar o eixo y!
Observação 2: Poderíamos ter escolhido outros pontos do gráfico, mas escolhemos os pontos P e Q por uma questão de conveniência. O importante é que o passo a passo seria o mesmo, ok?

Pergunta 1: Teste outros pares ordenados que você observa no gráfico do exemplo 1 e veja se eles respeitam a lei y = 2x + 2 que acabamos de calcular!

Taxa de Variação da Função do Primeiro Grau (ou linear)

Observe abaixo o gráfico de uma função do primeiro grau (ou função) linear qualquer. Nele, vamos representar dois pontos P1 e P2, com suas respectivas abscissas (\mathbf{x_{1}} e \mathbf{x_{2}}) e ordenadas (\mathbf{y_{1}} e \mathbf{y_{2}}).

Função linear qualquer para calcular a taxa de variação.
Função linear qualquer para calcular a taxa de variação.

Podemos definir a taxa de variação de uma função como a relação:
\mathbf{ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}
A figura abaixo explicita melhor a definição:

Definindo taxa de variação da função linear.
Definindo taxa de variação da função linear.

Através da definição, o que estamos calculando na verdade é a tangente do ângulo \dpi{120} \mathbf{\alpha } que a reta da função faz com a horizontal (eixo x).

\mathbf{ tan\alpha = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

O resultado numérico dessa expressão é o nosso já conhecido coeficiente angular (a). Ele recebe esse nome por ser justamente o resultado da tangente do ângulo que a reta do gráfico faz com o eixo horizontal (eixo x).

Exemplo 2: Voltemos ao gráfico do Exemplo 1. Consideremos um novo ponto R conforme a figura abaixo. Vamos calcular a taxa de variação (ou o coeficiente angular) considerando o ponto R.

Gráfico linear com valores numéricos para calcular a taxa de variação.
Gráfico linear com valores numéricos para calcular a taxa de variação.

Coordenadas do primeiro ponto P(0 ; 2) e do segundo ponto R(2 ; 6). Temos portanto:

  • x1 = 0 e y1 = 2
  • x2 = 2 e y2 = 6

Aplicando a definição, temos: \mathbf{ tan\alpha = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{6 -2}{2 - 0}=\frac{4}{2}\Rightarrow tan\alpha = 2 } , que foi justamente o valor de (coeficiente angular) que calculamos no Exemplo 1!

Nota: Esse resultado serve para mostrar que quaisquer dois (2) pontos da reta servem para calcular os coeficientes angular e linear!
Segue o vídeo abaixo para consolidar o conhecimento:

Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico da segunda parte de função do primeiro grau? Espero que sim!
Fique sempre de olho no Blog do Kuadro e no Canal do Kuadro para mais Resumos Teóricos. Até mais!

Resumo Teórico – Função do Primeiro Grau e seu Gráfico – Parte 1

Neste post, vamos fazer um resumo teórico sobre função do primeiro grau, explicando o que são seus coeficientes e o formato geral do seu gráfico! Se você não conferiu os posts sobre Variáveis, Equações, Reta Numérica e Função, vá lá no blog e confira!

Definição

Uma função do primeiro grau é toda equação que pode ser escrita na forma y = ax + b, onde x é a variável independente e y é a variável dependente; a e b são constantes dentro do conjunto dos números reais (a \in \mathbb{R} e b \in \mathbb{R}). Já estamos habituados com esse formato, certo?
Por que a expressão do tipo y = ax + b é do primeiro grau? Isso está relacionado com o expoente da variável x na expressão y = ax + b. Note que o expoente vale 1 (\inline \mathbf{x^{1} = x}), como o expoente é 1, dizemos que a equação y = ax + b é do primeiro grau!

Exemplos:

a) y = x + 3 (a = 1 ; b = 3)

b) y = -2x + 1 (a = -2 ; b = 1)

c) y = 1,5x – 8 (a = 1,5 ; b = -8)

Gráfico de uma Função do Primeiro Grau

O Gráfico de uma função é uma representação no Plano Cartesiano do conjunto de pontos (x ; y) que tenham x pertencente ao Domínio e y = f(x) pertencente à Imagem da função f.

Exemplo 1: Como é o gráfico da função f(x) = 2x?

Vamos montar a Tabela 1 abaixo:

Tabela 1 do Exemplo 1.
Tabela 1 do Exemplo 1.

Perceba que a partir da Tabela 1, obtemos os seguintes pares ordenados: (-2 ; -4) ; (-1 ; -2) ; (0 ; 0) ; (1 ; 2) ; (2 ; 4). Certo?

Plotando esses pares ordenados no plano cartesiano:

Pares Ordenados do Exemplo 1.
Pares Ordenados do Exemplo 1.

O Gráfico da função f(x) = 2x então é formado ligando os pontos formados pelos pares ordenados:

Gráfico da função do Exemplo 1.

Comentários:

O Exemplo 1 acima mostrou que o gráfico da função f(x) = 2x, é uma reta que passa pela Origem O (0 ; 0) do sistema.
Podemos generalizar afirmando que toda função do primeiro grau apresenta um gráfico em forma de reta (linear)! Por isso, a função do primeiro grau recebe o nome de Função Linear. Ela também é conhecida como Função Afim.

Coeficientes Angular e Linear

As constantes a e b na expressão y = ax + b têm nomes específicos. A constante a é chamada de coeficiente angular e a constante b é chamada de coeficiente linear.
O Coeficiente angular (constante a) influencia diretamente na inclinação da reta em relação ao Eixo x.

Quanto maior o valor de a, mais inclinada fica a reta!
Quanto maior o valor do coeficiente angular a, mais inclinada fica a reta. A reta vermelha tem o maior valor para a.

O Coeficiente linear (constante b) não influencia na inclinação da reta, mas altera a posição da reta no plano (translada a reta).

O valor do coeficiente linear b, altera a posição da reta no plano cartesiano (translada a reta)!
O valor do coeficiente linear b, altera a posição da reta no plano cartesiano (translada a reta)!

Pergunta 1: Monte o gráfico das seguintes funções. Observe se são retas!

a) f(x) = 3x – 2

b) f(x) = (x/2) + 4

Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico da primeira parte de função do primeiro grau? Espero que sim!
No próximo posto vamos detalhar ainda mais o gráfico da função do primeiro grau!
Fique sempre de olho no Blog do Kuadro e no Canal do Kuadro para mais Resumos Teóricos. Até mais!

LOGO-KUADRO-branco

PDF – MÉTODO KUADRO DE APROVAÇÃO

Preencha o formulário e receba o seu PDF