Neste post, vamos continuar trabalhando com função do primeiro grau e seu gráfico. Vamos aprender a calcular os coeficientes angular e linear e também falar de taxa de variação da função! Se você não viu a primeira parte deste conteúdo, clique aqui.
Calculando os Coeficientes a e b a partir de um gráfico dado
Muitas vezes em um determinado problema, é dado um gráfico pronto e você precisa tirar conclusões a respeito. Normalmente, nesse tipo de problema, é importante descobrir a expressão matemática da função – em outras palavras, você vai precisar determinar os coeficientes angular e linear (a e b)!
Vamos usar o Exemplo 1 abaixo para ilustrar o passo a passo.
Exemplo 1: Dado o gráfico abaixo, vamos determinar os coeficientes a e b.
Vamos considerar os pontos P e Q no gráfico, conforme ilustrado abaixo:
Do conhecimento adquirido no post de plano cartesiano, sabemos que o ponto P é o par (0 ; 2) e que o ponto Q é o par (-1 ; 0). Correto?
Ora, também sabemos que os pontos P e Q pertencem à reta do gráfico. Se pertencem ao gráfico, então os pontos P e Q obedecem à lei de formação da função linear y = ax +b, certo? (Lembra do post de função da definição?).
Então certamente podemos fazer:
- P (0 ; 2)
x = 0 e y = 2, mas y = ax +b 2 = a*0 + b 2 = 0 + b b = 2 - Q (-1 ; 0) x = -1 e y = 0, mas y = ax +b 0 = a*-1 + b mas b = 2 0 = -a + 2 a = 2
Então, com os pontos P e Q, calculamos os valores de a = 2 e b = 2!
E como fica então a expressão matemática da função do gráfico? Fica: y = 2x + 2!
Observações
Observação 1: Note que a reta do gráfico cortou o eixo y no ponto P(0 ; 2). E que o valor do coeficiente linear b = 2, certo?
Conclusão: o valor do coeficiente linear b é sempre igual a ordenada do ponto em que a reta do gráfico cortar o eixo y!
Observação 2: Poderíamos ter escolhido outros pontos do gráfico, mas escolhemos os pontos P e Q por uma questão de conveniência. O importante é que o passo a passo seria o mesmo, ok?
Pergunta 1: Teste outros pares ordenados que você observa no gráfico do exemplo 1 e veja se eles respeitam a lei y = 2x + 2 que acabamos de calcular!
Taxa de Variação da Função do Primeiro Grau (ou linear)
Observe abaixo o gráfico de uma função do primeiro grau (ou função) linear qualquer. Nele, vamos representar dois pontos P1 e P2, com suas respectivas abscissas ( e ) e ordenadas ( e ).
Podemos definir a taxa de variação de uma função como a relação:
A figura abaixo explicita melhor a definição:
Através da definição, o que estamos calculando na verdade é a tangente do ângulo que a reta da função faz com a horizontal (eixo x).
O resultado numérico dessa expressão é o nosso já conhecido coeficiente angular (a). Ele recebe esse nome por ser justamente o resultado da tangente do ângulo que a reta do gráfico faz com o eixo horizontal (eixo x).
Exemplo 2: Voltemos ao gráfico do Exemplo 1. Consideremos um novo ponto R conforme a figura abaixo. Vamos calcular a taxa de variação (ou o coeficiente angular) considerando o ponto R.
Coordenadas do primeiro ponto P(0 ; 2) e do segundo ponto R(2 ; 6). Temos portanto:
- x1 = 0 e y1 = 2
- x2 = 2 e y2 = 6
Aplicando a definição, temos: , que foi justamente o valor de a (coeficiente angular) que calculamos no Exemplo 1!
Nota: Esse resultado serve para mostrar que quaisquer dois (2) pontos da reta servem para calcular os coeficientes angular e linear!
Segue o vídeo abaixo para consolidar o conhecimento:
Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico da segunda parte de função do primeiro grau? Espero que sim!
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