(Fuvest - 2014 - 2 FASE)Considere o tringulo equil

(Fuvest - 2014 - 2 FASE)

Considere o triângulo equilátero \(\Delta A_0 OB_0\) de lado 7 cm.

a) Sendo \(A_1\) o ponto médio do segmento \(\overline{A_0 B_0}\), e \(B_1\) o ponto simétrico de \(A_1\) em relação à reta determinada por \(O\) e \(B_0\), determine o comprimento de \(\overline{0B_ 1}\).

b) Repetido a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo \(\Delta A_1 OB_1\), pode-se obter o triângulo \(\Delta A_ 2 OB_ 2\) tal que \(A_2\) é o ponto médio do segmento \(\overline{A_1 B_1 }\), e \(B_2\) e o ponto simétrico de \(A_2\) em relação à reta determinada por \(O\) e \(B_1\). Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém-se o triângulo \(\Delta A_3 O B _ 3\). Assim, sucessivamente, pode-se construir uma sequência de triângulos \(\Delta A_n OB_ n\) tais que, para todo \(n \geq 1\), \(A_n\) é o ponto médio de \(\overline{A_{n-1}B_{n-1}}\), e \(B_n\), o ponto simétrico de \(A_n\) em relação à reta determinada por \(O\) e \(B_{n-1}\), conforme figura ao lado.

Denotando por \(a_n\), para \(n \geq 1\), o comprimento do segmento \(\overline{A_{n-1} A_n}\), verifique que \(a_1, a_2, a_3, ...\) é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal \(A_0 A_1 A_2 \, ... \, A_n, n \geq 1.\)

O ponto \(P'\) é simétrico ao ponto \(P\) em relação à reta \(r\) se o segmento \(\overline{PP' }\) é perpendicular à reta \(r\) e a interseção de \(\overline{PP' }\) e \(r\) é o ponto médio de \(\overline{PP' }\).