afinal o que é álgebra

Afinal, o que é Álgebra?

A ideia fundamental por trás da álgebra parece ser a criação de uma linguagem para tratar de problemas numéricos de modo geral, sem precisar associá-los a casos específicos.

Isso se traduz no que costumamos chamar de “fórmulas”, palavra que também é usada para mencionar “método para fazer algo funcionar”. É comum ouvir frases do tipo “não há fórmula para a felicidade” ou “não há fórmula para fazer um bebê dormir à noite”.

Queremos dizer com isso que não há um passo-a-passo sempre igual que nos leva necessariamente à felicidade ou ao sono do bebê.

Na álgebra, a fórmula tem um significado bem específico. Quando desejamos determinar algum resultado (preço de uma corrida de táxi ou uber, posição de um objeto lançado para cima, força gravitacional do sol sobre a terra, melhoria de um quadro de saúde devido a um medicamento), em muitos casos é possível associá-lo a números.

Esses resultados numéricos dependem de parâmetros que também podem ser associados a números. É essa associação das situações, resultados e parâmetros a números que permite uma determinação matemática precisa do que desejamos.

1º Passo: Transformando ideias em números

Os números já faziam esse papel muito antes de a linguagem algébrica ter surgido. Quando pensamos que para fazer suco a partir um suco concentrado misturamos 1 parte de suco e 4 partes de água, já sabemos que se quisermos fazer 10 litros de suco precisaremos de 8 litros de água e 2 litros de suco concentrado.

Esse é o embrião do pensamento algébrico.

A questão é: como criamos uma linguagem para representar todas as situações em que haja a relação de 1 para 4, seja para preparar suco ou para revelar alguma estatística importante sobre a população?

A grande sacada vem do fato de que a matemática é precisa e, portanto, não deveria haver necessidade de muitas palavras para nos referirmos ao que elas significam. Imagine, por exemplo, a velocidade de um objeto qualquer.

Você é um pesquisador interessado em saber se é possível quantificar a rapidez de um objeto, se posso associar um número à rapidez com que ele se move. Você percebeu, intuitivamente, que a rapidez tem a ver com o quanto esse objeto se desloca; e tem a ver também com o tempo que ele demora pra se deslocar. Logo em seguida, você percebe que esse deslocamento pode ser quantificado: um metro, dois metros, três metros. Ou, se você ainda não conhece o metro, pode usar um objeto de referência, como uma corda que tem em casa, e dizer que o deslocamento é de uma corda, duas cordas, três cordas.

Então você imagina que o tempo também é quantificável. Algumas coisas ocorrem em ciclos, como o nascer do sol todos os dias. Você chama isso de dia e o divide em partes e consegue medidas de tempo menores: um décimo de dia, um vigésimo de dia, etc.

Se um objeto se desloca muito em pouco tempo, ele é muito rápido. Se ele se desloca pouco em muito tempo, ele é lento. Já sabemos isso também intuitivamente. Mas se usarmos a matemática e os números, podemos diferenciar a rapidez 4,1 da rapidez 4,3, por exemplo, coisa que nossa observação não seria capaz de determinar.

Então transformar a ideia intuitiva de rapidez em número seria uma grande avanço.

2º Passo: Transformando números em letras

Com algumas tentativas, você percebe que dividir a quantidade de deslocamento pelo tempo demorado é a forma mais adequada de medir a rapidez.

Como os dois já foram associados a números (um em cordas, o outro em frações de dias), você pode obter um número que mede a rapidez. Por conveniência, você faz um ajuste de nomenclatura e outro nas medidas: chama a rapidez de velocidade; e passa a medir o deslocamento em metros e o tempo em segundos.

Certo, mas agora você precisa escrever isso de modo simples. Você não quer escrever “velocidade é a distância dividida pelo tempo”. Você quer uma expressão mais simples, mais elegante, mais precisa do que uma frase escrita. Você quer algo com linguagem matemática.

Então, que tal se criamos um símbolo para representar a velocidade?

Sim, todas as velocidades possíveis no mundo podem ser chamadas simplesmente de V. O deslocamento pode ser chamado de D, qualquer que seja ele – 4,5m, 1000m ou 23m, não importa. Chamaremos de D e pronto. O mesmo faremos com o tempo – independente de de ser segundos, horas ou dias, chamaremos esse tempo de t.

Quando quiser uma situação específica, troco D pelo valor da distância percorrida e t pelo valor do tempo que o objeto levou percorrendo essa distância.

3º Passo: Letras que criam expressões algébricas

Agora podemos finalmente criar uma fórmula matemática para a velocidade média:

Vm = D/t

Essa fórmula resume em apenas seis caracteres o cálculo de qualquer velocidade média
que você quiser calcular.

Não importa se estamos falando de cometas, carros, bolas, formigas ou planetas. Não importa se estamos falando de distâncias astronômicas ou percorridas por besouros. Quando quiser calcular velocidade média, descubra o valor da distância percorrida e do tempo decorrido e divida um pelo outro. Todo os casos, de qualquer distância e qualquer tempo, estão descritos aqui.

Diga-me se isso não é uma das coisas mais bonitas que poderíamos descobrir?!

Os números trouxeram um padrão de abstração muito importante. Eles não existem na natureza. Nem sempre foi assim, mas atualmente falamos do número 3 como uma ideia que pode estar associada a qualquer coisa. Não preciso dizer 3 canetas, posso dizer apenas “3” – é uma abstração porque não precisa de um objeto para existir.

A linguagem algébrica traz um nível de abstração ainda mais incrível: não é preciso saber de que número estamos falando. Dizemos apenas “x” quando não sabemos quem ele é, e descobrimos suas relações com outros números, também desconhecidos.

E, no meio de tanto desconhecimento, ainda assim podemos criar fórmulas que são quase mágicas, que descrevem, sucinta e precisamente, a velocidade de um objeto, a área de um trapézio, a força de um sol e tantas outras coisas que a ciência vasculha sobre o mundo e o universo, tudo isso sem se ater a casos específicos, mas criando regras gerais que servem para muitos e muitos casos.

A álgebra é como uma frase matemática simples e elegante que resume infinitas possibilidades.

O Alessandro é formado pelo ITA. É professor do Kuadro e além de ser fera em matemática também é escritor nas horas vagas e vai compartilhar todas as suas reflexões e curiosidades no nosso blog.

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