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Brincando com a álgebra

Aqui no Laboratório nós já discutimos o significado mais amplo da álgebra, construindo uma das muitas fórmulas possíveis a partir do pensamento algébrico.

Dessa vez, vamos falar de situações um pouco mais simples e menos conceituais. Vamos utilizar a álgebra para algo menos nobre do que descrever a velocidade de um objeto ou a força gravitacional. Agora é hora de brincar. Pegue papel e lápis para nos acompanhar.

1º passo: testando a brincadeira

Desde pequeno me lembro de brincadeiras envolvendo a idade ou algum número que eu havia pensado. “Pense em um número, divida por dois, multiplique por 50…”. No final, alguma surpresa que nos deixava espantados.

Vamos testar uma dessas brincadeiras:

  1. Escreva o dia e o mês de seu nascimento um ao lado do outro, formando um número. Não considere o zero à esquerda. Por exemplo, quem nasceu no dia 2 de outubro irá escrever 210.
  2. Multiplique esse número por 2.
  3. Ao resultado, some 5.
  4. Multiplique o número que encontrou por 50.
  5. Subtraia do resultado o número 250.
  6. Adicione ao resultado encontrado os dois últimos dígitos do ano em que nasceu.

Que número você encontrou?

Faça agora essa mesma brincadeira com seus pais, irmãos ou algum amigo. Notou algo
curioso?

2º passo: observando o resultado

Vamos colocar um exemplo aqui para ter certeza de que ninguém deixou nada passar batido. Nasci no dia 3 de julho de 1981 (3/7/81). Portanto, desconsiderando os zeros à esquerda, meu número seria 37. E seguindo as etapas temos:

37・274
74 + 579
79・503950
3950 – 2503700
3700+813781

O número, no final, é o dia, mês e ano do meu nascimento. Você encontrou isso também?

3º passo: mas que diabos!?

Se você não pensou muito nos motivos do resultado encontrado, vai dar um sorriso, se divertir e seguir a vida. Mas não seria bacana se pudéssemos investigar por que isso funciona?

É aqui que entra a álgebra. Se essa sequência de passos funciona para qualquer número (ou seja, para qualquer data de nascimento), então ela também deve funcionar para uma letra que representa um número.

Digamos que o número que você escreveu, composto pelo dia e mês de seu nascimento, seja x. Vamos fazer as contas normalmente, usando a letra x no lugar de um número. Observe as etapas de 1 a 5:

Escreva o númerox
Multiplique esse número por 22x
Ao resultado, some 52x + 5
Multiplique o número que encontrou por 50(2x + 5)・50
Subtraia do resultado o número 250(2x + 5)・50 – 250

A expressão a que chegamos é (2x + 5)・50 – 250. Mas vamos trabalhar melhor essa expressão para entender o que está acontecendo. Retirando os parênteses e aplicando a propriedade distributiva, temos:

= (2x + 5)・50 – 250
= 2x・50 + 5・50 – 250
= 100x + 250 – 250

Perceba, agora, o que está acontecendo: 250 – 250 = 0. Portanto, nossa expressão, simplificada ao máximo, fica:

100x

Observe agora que multiplicar um número por 100 implica em colocarmos dois zeros à sua direita. Por exemplo: 100 ・37 = 3.700 ou ainda 210 x 100 = 21.000.

Isso significa que as etapas de 1 a 5 nos levam sempre, inevitavelmente, a uma expressão formada pelo número que escrevemos inicialmente com dois zeros na frente.

Falta agora a última etapa: somar os dois últimos dígitos do ano de nascimento, que chamaremos de a. Como o número 100x tem sempre dois zeros à direita, ao adicionarmos um número com dois dígitos, como pedido, teremos um novo número onde à direita necessariamente estará o ano de nascimento.

100x + a

Veja o exemplo do meu caso:

100・37 + 81 = 3700 + 81 = 3781

Concluindo

O que vimos aqui é uma espécie de demonstração algébrica de porque as etapas seguidas sempre resultarão num resultado específico: 100x + a. Esse resultado é feito respeitando todas as regras conhecidas entre as operações aritméticas envolvendo números.

Ao inserirmos letras, estamos oferecendo generalidade ao problema. Estamos usando álgebra. Uma demonstração matemática não é suficiente se você mostra muitos exemplos que “dão certo”.

É necessário que a verdade seja estabelecida para qualquer caso possível – e esse é o papel que a letra “x” e a letra “a” conseguem cumprir com perfeição.

Ou seja: 100x + a é uma frase matemática simples e elegante que resume infinitas datas de nascimento.

brincando com álgebra

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O Alessandro é formado pelo ITA. É professor do Kuadro e além de ser fera em matemática também é escritor nas horas vagas e vai compartilhar todas as suas reflexões e curiosidades no nosso blog.

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