Resumo Teórico - Potenciação e Radiciação - Parte 1

Potenciação: definição e operações

Neste post vamos fazer falar sobre Potenciação, apresentando suas definições e propriedades!

Definição de Potenciação

Definimos a operação de Potenciação como uma forma de simplificar a operação de uma sequência de multiplicações. Por exemplo:

  • 2 * 2 = 2^{2} = 4
  • 3 * 3  = 3^{2} = 9
  • 2 * 2 * 2  = 2^{3} = 8
  • 3 * 3 * 3 = 3^{3} = 27

 

Generalizando, podemos escrever: a * a * a * (n vezes) * a\inline \mathbf{a^{n}}

  • O número a é chamado de Base da Potência.
  • O número n é chamado de Expoente da Potência.

 

Leitura

\inline \dpi{120} \mathbf{a^{n}} lê-se: a elavado a n-ésima potência ; a elevado à

  • Quando n = 2, diz-se que o número está elevado ao quadrado;
  • Quando n = 3, diz-se que o número está elevado ao cubo;
  • Quando n = 4, 5 …., diz-se que o número está elevado à quarta potência, quinta potência e assim por diante.

 

Propriedades a partir da Definição:

  • \mathbf{a^{1}} = a (qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo)
  • \mathbf{a^{0}} = 1 (qualquer número elevado à potencia de 0, o resultado é 1)
  • \inline \mathbf{1^{n}} = 1 (o número 1 elevado à qualquer potência o resultado é sempre 1)
  • \inline \mathbf{0^{n}} = 0 (o número 0 elevado à qualquer potência o resultado é sempre 0)

 

Potência com Expoente Inteiro Positivo

Sejam m e n dois números pertencentes ao conjunto dos números Naturais (\inline \mathbb{N}) e a e b pertencentes aos números Reais (\inline \mathbb{R}), temos:

  • \mathbf{a^{m}*a^{n} = a^{m+n}}

Multiplicação de Potências de mesma Base: Conserva-se a Base e soma-se os Expoentes.

Perceba que se tivermos: \inline \dpi{120} \mathbf{a^{n}*a=a^{n+1}}

  • \mathbf{\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}}

Divisão de Potências de mesma Base: Conserva-se a Base e subtrai-se os Expoentes.

  • \mathbf{(a^m)^{n} = a^{m*n}}

Potência de uma Potência: Conserva-se a Base e multiplica-se os Expoentes.

  • \mathbf{(a*b)^{m} = a^m*b^m}

A Potência do Produto é o Produto das Potências.

  • \mathbf{\left ( \frac{a}{b} \right )^n = \frac{a^n}{b^n}}

A Potência da Divisão (fração) é a Divisão (fração) das Potências.

 

Exemplos:

a) \mathbf{2^{2}*2^{3}=2^{2+3}=2^{5} = 32}

b) \mathbf{\frac{4^{4}}{4^{2}} = 4^{4-2} = 4^{2} = 16}

c) \mathbf{(3^2)^{2} = 3^{2*2} = 3^{4} = 81}

d) \mathbf{(2*3)^{2} = 2^2*3^2 = 4*9 = 36}

e) \mathbf{\left ( \frac{3}{4} \right )^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}}

Potência com Expoente Inteiro Negativo

Por definição, toda potência com expoente inteiro negativo é o inverso da potência com expoente positivo:

\mathbf{a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}}

E valem as mesmas propriedades vistas para o expoente inteiro positivo, ok?

 

Exemplos:

a) \mathbf{2^{-2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}}

b) \mathbf{\left (\frac{2}{3} \right )^{-2} = \left (\frac{1}{2/3} \right )^{2} = \left (\frac{3}{2} \right )^{2} = \frac{9}{4}}

 

Potências de Base 10

Vamos acompanhar esses exemplos:

  • \inline 10^{2} = 10*10 = 100
  • \inline 10^{3} = 10*10*10 = 100
  • 10^{4} = 10*10*10*10 = 10.000
  • Generalizando: \inline 10^{\mathbf{n}} = “1” seguido de n zeros

Observe que o número de zeros após o “1” é igual ao expoente da potência de 10.

Outros casos:

  • 0,1 = \inline \frac{1}{10} = 1*10^{-1}
  • 0,01 = \inline \frac{1}{100} = 1*10^{-2}
  • 0,001 = \inline \frac{1}{1000}=1*10^{-3}

Observe que o número de casas decimais é igual ao negativo do expoente da potência de 10.

Notação Científica

A notação científica permite escrever números usando potências de base 10. Um número expresso em notação científica está escrito como o produto de dois números reais: um número real pertencente ao intervalo [1 ; 9] e uma potência de 10.

Exemplos:

  • 200 = 2*100 = 2*\inline 10^{2}
  • 3.500 = 3,5*1.000 = 3,5*\inline 10^{3}
  • 0,0045 = 4,5/1000 = 4,5*10^{-3}
  • 1.420.000 = 1,42*10^{6}

Além de ser uma forma mais sintética de escrever números grandes, sua principal utilidade é a de fornecer a ideia da ordem de grandeza de um número que, se fosse escrito por extenso, não daria essa informação de modo tão imediato. E sua maior aplicação é melhor representar grandezas de valores muito grandes (como na Astronomia, por exemplo) ou de valores muito pequenos (como na Química, por exemplo).

Exemplos:

a) A distância média da Terra até o Sol é de 149 milhões e 600 mil km:

149.600.000 km  = 1.496*\inline 10^{5} = 1,496*10^{3}*10^{5} = 1,496*\inline 10^{8} km

Distância da Terra ao Sol

b) A circunferência da Terra no Equador é de aproximadamente 40 mil km:

40.000 km = 40*\inline 10^{3} = 4*10*\inline 10^{3} = 4*\inline 10^{4} km

c) A massa de um átomo de Oxigênio é de 2,7*10^{-23} g

d) A massa de um átomo de Hidrogênio é de 1,6*\inline 10^{-24} g

O átomo é uma das menores estruturas da matéria.

Tranquilo? Acompanhou o esse post sobre Potenciação? Espero que sim!

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Engenheiro Aeronáutico formado pelo ITA (turma de 2005). Ex-Engenheiro da Embraer (áreas de Engenharia de Vendas, Engenharia de Interiores Executivos e Engenharia Aeronáutica). Ex-Instrutor do SENAI-PA na área de Mecânica Industrial. Perito Autônomo em Engenharia Aeronáutica cadastrado na Receita Federal (RFB) da Alfândega de Belém-PA. Possui experiência com Consultoria em Georeferenciamento. Orientador Pedagógico paras as Turmas ITA/IME do Kuadro.

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