Resumo de matematica: Semelhança de triângulos



Semelhança de triângulos

Por: Aline Ribeiro 

 

1. Introdução: Duas figuras quaisquer são semelhantes na geometria quando elas têm formas iguais e tamanhos proporcionais. Em especial, vamos estudar

a semelhança de triângulos. 

Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando a medida de seus ângulos correspondentes são congruentes e seus lados correspondentes

são proporcionais. 

             

Os triângulos ABC e DEF são semelhantes pois as medidas de seus ângulos correspondentes são congruentes. Então: 

\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f} = k

Chamamos k de razão de semelhança. Quando k=1, os triângulos serão congruentes. 

 

Observação 1: A razão das alturas também obedece essa razão de semelhança.

 

Observação 2: Tenha muita atenção, pois é indispensável a coerência e a ordem de utilização das medidas dos lados.

 

2. Critérios de semelhança: Nem sempre é preciso descobrir a medida de todos os lados e de todos os ângulos dos triângulos para concluir que eles

são semelhantes. Existem três critérios que utilizam apenas três medidas e já nos garante da semelhança dos triângulos em questão. 

 

2.1. Caso 1 (AA): Se dois triângulos possuem dois pares de ângulos congruentes, então eles serão semelhantes. 

Como os ângulos do triângulo ABC são congruentes com os do triângulo DEF, então  eles são semelhantes \left (ABC\sim DEF \right ).

 

2.2. Caso 2 (LAL): Se dois triângulos possuem dois pares de lados proporcionais e o ângulo compreendido entre eles congruente, então os triângulos

serão semelhantes.

   Como AB ,DE e AC , DF são pares de lados proporcionais e os ângulos por elas compreendido são congruentes, então ABC\sim DEF.

 

2.3. Caso 3 (LLL): Se dois triângulos possuem três pares de lados congruentes, então eles serão semelhantes.

          

Como AB ,DE e AC, DF e BC, EF são pares de lados proporcionais, então ABC\sim DEF.


2.4. Exemplos: 

 

Exemplo 1: Os lados de um triângulo ABC são AB=12, AC=16 e BC=24. Seja M um ponto no lado AB , tal que AM=3\cdot BM . Traçando

MN paralela a BC, com N\in BC, calcule o perímetro do triângulo AMN.

Temos que \alpha é um ângulo comum dos dois triângulos e \beta e \beta' são ângulos correspondentes, então \beta = \beta'. Desse modo temos que AMN\sim ABC,

pelo caso 1. Então:

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

Como AM=3\cdot BM e AB=12:

AB=AM+BM

12=3\cdot BM+BM

12=4\cdot BM

3 = BM e AM=3\cdot 3=9

Desse modo: 

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

\frac{9}{12}=\frac{AN}{16}=\frac{MN}{24}

 \frac{9}{12}=\frac{AN}{16}                                 \frac{9}{12}=\frac{MN}{24}

   \frac{9\cdot 16}{12}=AN                            \frac{9\cdot 24}{12}=MN

    12=AN                                   18=MN

Então o perímetro do \Delta AMN=AM+MN+AN=9+18+12=39.

 

Exemplo 2: Na figura ao lado, os segmentos CD, AC e AD medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é a bissetriz do ângulo B\widehat{A}D. Determine

a medida do segmento AB.

Colocando as informações do problema na figura temos:

Como AC é bissetriz, temos que D\widehat{A}C=B\widehat{A}C , assim ADC\sim ACB pelo caso 1 (ângulo, ângulo). Desse modo:

\frac{10}{x}=\frac{7}{10}

7x=100

x=\frac{100}{7}=AB

 

Exemplo 3: Na figura, AB = 12, AC = 8 e ADEF é um losango inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado desse losango. 

Colocando as informações do problema na figura temos:

Como AF e DE são lados de um losango, então as retas que os contém são paralelas. Pensando nisso temos que C\widehat{B}A=C\widehat{E}D, pois eles são

correspondentes e B\widehat{F}E=B\widehat{A}D, pois são correspondentes e pelo mesmo motivo B\widehat{F}E=B\widehat{A}D=E\widehat{D}C. Assim temos que \Delta EBF\sim \Delta CED,

pelo caso 1 (ângulo, ângulo), então:

 \frac{12-x}{x}=\frac{x}{8-x}

\left (12-x \right )\cdot \left (8-x \right ) =x^{2}

96-12x-8x+x^{2}=x^{2}

96-12x-8x+x^{2}-x^{2}=0

96-20x=0

96=20x

x=\frac{24}{5} 

Desse modo, o lado do losango mede \frac{24}{5}.