Resumo Teórico – Introdução à Estatística – Parte 2

No post anterior fizemos um resumo teórico com uma Introdução à Estatística e falamos de uma medida de posição chamada de Média Aritmética! Se não viu ainda, você confere ele aqui, Neste post, vamos falar das outras medidas de posição. Vamos nessa?

Média Ponderada

Imagine a seguinte situação: Em um determinado concurso, cada disciplina tem peso diferente, conforme a seguir:

Essa situação é bem comum em Vestibulares e Concursos. Certo! E vamos supor que alguém tenha feito esse concurso e tenha tirado as seguintes notas em cada matéria:

Vamos responder à pergunta do Exemplo 1 a seguir:

Exemplo 1: Dado que as matérias têm pesos diferentes entre si, qual a média dessa pessoa no concurso?

Vimos que para calcular a Média Aritmética, bastava somar todos os valores e dividir pelo número de valores.
No caso da Média Ponderada (do latim pendere – “pesar”), considera-se pesos diferentes para cada valor da grandeza que estamos trabalhando – nesse caso, as notas de cada disciplina do concurso.

Definição Formal

Define-se Média Ponderada como a soma dos produtos dos valores quantitativos de uma determinada característica de uma determinada amostra, pelos respectivos pesos que cada um desses valores possuem.
Expressando em formato matemático, temos:

MP = $\frac{\left ( x_{1}*p_{1}+x_{2}*p_{2}+x_{3}*p_{3}+...+x_{n}*p_{n} \right )}{p_{1}+p_{2}+p_{3}+...+p_{n}}$

Onde:

MP ⇒ Média Ponderada
$x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n}$ ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
$p_{1},p_{2},p_{3}...p_{n}$ ⇒ pesos para cada valor quantitativo
n ⇒ número de elementos na amostra

Aplicando a definição ao Exemplo 1, temos:
$MP=\frac{\left (6,0*3+7,0*3+8,0*2+9,0*1 \right )}{3+3+2+1}$

$MP = \frac{\left (18+21+16+9 \right )}{9} = \frac{64}{9}$ ⇒ MP = 7,11

Onde:

(6,0 ; 7,0 ; 8,0 ; 9,0) ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra (notas em cada matéria)
(3 ; 3 ; 2 ; 1) ⇒ pesos para cada valor quantitativo

Com isso, sabe-se então que a média da pessoa no concurso foi 7,11. Correto?

Pergunta 1: Se em outro concurso caíssem as mesmas matérias e mais Química (peso 3) e a nota da pessoa fosse 7,0, qual seria a média nesse novo concurso?

Pergunta 2: O que aconteceria se os pesos de cada matéria fossem todos iguais a 1?

Confira o vídeo abaixo e consolide o conhecimento adquirido até aqui!

Média Geométrica

A Definição de Média Geométrica é a raiz n-ésima do produto dos valores quantitativos de alguma característica da amostra em estudo.
Matematicamente temos que: $\mathbf{\mathit{\mathbf{MG }}}= \sqrt[n]{\left (x_{1}*x_{2}*x_{3}*...*x_{n} \right )}$
Onde:

MG ⇒ Média Geométrica
$x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n}$ ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
n ⇒ número de elementos na amostra

Calma! Parece complicado mas não é não. Vamos fazer alguns exemplos:

Exemplo 3: Qual a média geométrica entre 3 e 27?

Temos 2 números, portanto n = 2. Então, $\mathit{MG }= \sqrt[2]{3*27} = \sqrt[2]{81}$ ⇒ MG = 9

Exemplo 4: Qual a média geométrica entre 2, 5 e 6,4?

Temos 3 números, portanto n = 3. Então, $\mathit{MG }= \sqrt[3]{2*5*6,4} = \sqrt[3]{64}$ ⇒ MG = 4

Pergunta 3: Como exercício, faça a média aritmética dos valores dos exemplos 3 e 4 e compare!

Confira o vídeo abaixo para consolidar o conhecimento adquirido:

Média Harmônica

A Média Harmônica é definida como a fração do número de elementos (n) de uma dada amostra dividido pela soma dos inversos dos valores quantitativos da amostra. Matematicamente fica:

$\mathbf{\mathit{MH }}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+...+\frac{1}{x_{n}}}$

Onde:

MH ⇒ Média Harmônica
$x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n}$ ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
n ⇒ número de elementos na amostra

Vamos fazer alguns exemplos pra ficar claro!

Exemplo 5: Qual a média harmônica entre 3 e 6?

Temos 2 números, portanto n = 2. Então, $\mathbf{\mathit{MH }}= \frac{2}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{2}{6}+\frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{3}{6}} = \frac{2}{1}*\frac{6}{3} = \frac{12}{3}$ ⇒MH = 4

Exemplo 6: Qual a média harmônica entre 2, 4 e 8?

Temos 3 números, portanto n = 3. Então, $\mathbf{\mathit{MH }}= \frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}} = \frac{3}{\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}} = \frac{3}{\frac{7}{8}} = \frac{3}{1}*\frac{8}{7} = \frac{24}{7}$ ⇒MH = 3,43

Pergunta 4: Como exercício, faça a média aritmética dos valores dos exemplos 5 e 6 e compare!

Confira o vídeo abaixo para fixar melhor o conteúdo:

Tranquilo? Acompanhou mais esse resumo tórico da segunda parte de introdução à estatística? Espero que sim!
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