Como ir bem na prova objetiva de matemática da FUVEST?

Quanto mais concorrido é um processo seletivo, maior é o tempo de estudo necessário para chegar ao nível exigido pela prova. Esse é o desafio de quem quer passar na USP. Nesse aspecto, a Matemática da Fuvest costuma ser um dos aspectos mais temidos pelos estudantes. As questões dessa disciplina não deixam a desejar no quesito dificuldade. À primeira vista, isso pode até parecer uma notícia ruim. Porém, se essa parte da prova for bem aproveitada, ela se transformará em um diferencial para a sua aprovação.

Confira as últimas provas

É extremamente importante conhecer a prova da Fuvest. Um dos maiores problemas que os estudantes encontram é identificar qual conteúdo deve ser priorizado. Ou melhor, o que deve ser mais estudado durante a preparação. Uma ótima maneira de prever quais conteúdos podem cair com maior peso é observar as provas anteriores do mesmo vestibular. A Fuvest possui um “perfil” de exame que sofre pouquíssimas alterações ao longo dos anos. É um vestibular previsível. Essa dica também vale para as carreiras que tem Matemática na 2º fase. Nessas situações, é importante que o estudante saiba como resolver as questões dissertativas e não apenas encontre um valor, como ocorre na objetiva. O vestibular também costuma repetir assuntos na prova dissertativa.

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Tendências observadas

Ao observar as últimas provas de Matemática na Fuvest, é possível perceber que alguns assuntos se repetem. Portanto, embora seja importante o aluno saber o máximo de conteúdo, alguns pontos ele deve, simplesmente, dominar. Nós do Kuadro observamos algumas características dessa disciplina no vestibular da USP. Confira!

  • A maior parte das questões cobra puramente Matemática básica. Isso evidencia que nem sempre é necessário aprofundar demais nos conteúdos para resolver uma questão da Fuvest. A existência desse tipo de questão só comprova que, para ir bem nessa prova, é fundamental ter uma boa base em Matemática;
  • Um terço da prova de Matemática é geometria, seja ela plana, espacial ou analítica. Uma dica é focar bastante na geometria plana, que sempre é utilizada como ferramenta na resolução de questões de analítica e espacial;
  • Conhecer bem as funções mais comuns (1º e 2º grau, logarítmica, exponencial, trigonométrica e modular) é uma ótima ideia. Além de te ajudar a resolver as questões específicas desse conteúdo, também te fornecem uma boa base para resolução de exercícios de outras partes da Matemática;
  • Análise combinatória é uma matéria que não cai com tanta incidência como as outras que já citamos. Contudo, é interessante ir para a prova preparado e na expectativa de encontrar ao menos uma questão desse conteúdo,
  • Polinômios, sequências, números complexos, sistemas, matrizes e determinantes são matérias bem importantes, mas que não caem com tanta frequência na primeira fase do vestibular da USP. Isso não significa que você pode ir para a prova sem saber esses conteúdos. Mas que você pode priorizar outras partes da Matemática que você sente mais dificuldade quando for estudar.

Conclusão

A Matemática para o vestibular não é um assunto simples, mas também não é um bicho-de-sete-cabeças. Com paciência, empenho e material adequado, qualquer pessoa pode ser dar bem nessa disciplina — até mesmo quem é “de Humanas”. Além de ter um peso importante para a Fuvest, a disciplina também ajuda nos conteúdos de Exatas (Física e Química). Por isso, não negligencie essa matéria tão importante que poderá te levar à aprovação. Seguindo as dicas acima, não tem erro. Você enfrentará de igual para igual a prova objetiva dessa matéria, sem nenhuma dúvida. Mas caso ainda exista alguma, não perca tempo! Escreva aqui nos comentários o que achou e o que mais você deseja descobrir sobre os vestibulares. Além disso, no Kuadro você conta com um excelente cursinho on-line, que inclui aulas dinâmicas e material de qualidade. Aprenda o que cai de Matemática na Fuvest com mais facilidade e esteja mais preparado para alcançar os seus objetivos!

O que cai na prova de Matemática do ENEM?

Apesar de ter 45 questões, a parte de matemática do Enem pode ser mais fácil do que grande parte dos estudantes imaginam. É isso mesmo! Nesse exame, você não vai encontrar questões que exijam conhecimento profundo de assuntos espinhosos ou procedimentos longos e minuciosos.
O Kuadro fez um levantamento e constatou que as questões privilegiam alguns assuntos mais básicos, ensinados, inclusive, durante o Ensino Fundamental. Dessa forma, percebe-se que a prova está preocupada em avaliar o raciocínio em exercícios que se aproximam da realidade.
A matemática no Enem apresenta bastante contextualização. Mas não basta saber interpretar as questões, também é necessário aplicar fórmulas e conceitos para resolvê-las. Saiba mais sobre como essa disciplina é cobrada e estude melhor!

1. Regra de três

Razão e proporção, popularmente conhecido como “regra de três”, é um dos assuntos de matemática mais comuns na prova. Ela permite avaliar o raciocínio do candidato, mesmo quando ele não tem muita informação, mas boa capacidade analítica.
Além de ser cobrada na parte de matemática, a regra de três também é uma ferramenta para resolver outros conteúdos. Em geografia, por exemplo, é possível que haja um exercícios envolvendo escala. Nesse caso, a resolução é feita por meio desse método de razão e proporção.

2. Funções

Geralmente, o Enem apresenta enunciados elaborados, em que propõe a utilização de uma função. Ou seja, nem sempre é explícito. Assim, o estudante precisa saber interpretar a situação apresentada e observar que a função é necessária.
Pode até ser que o exame apresente a expressão f(x), mas não é tão comum de acontecer. Portanto, apesar das contas serem fáceis, o estudante deve se esforçar para desvendar o que a questão deseja.

3. Financeira

A Matemática Financeira também é figurinha carimbada no Enem. Também pudera! Ela permite avaliar domínio de conceitos muito básicos e capacidade de raciocínio, além de proporcionar questões muito interessantes.
Para se dar bem nesse tipo de questão, é importante que o estudante entenda bem de porcentagem e as diferenças entre juros simples e compostos. A Matemática Financeira não é difícil, mas exige atenção. Se o estudante não se atentar, ele pode calcular um valor achando que envolve juros simples, quando na verdade trata-se dos compostos.

4. Geometria

Para quem vai prestar exame para os cursos mais concorridos, quanto mais questões acertar de matemática melhor. Por isso, vale a pena dar uma atenção especial para a Geometria Plana e a Espacial.
Como já dissemos, o Enem prefere cobrar matemática básica. Mas geometria também tem a sua vez, ainda que de forma mais simples. Nessa parte, os estudantes têm que dominar sólidos simples (prismas, esferas e pirâmides), problemas envolvendo triângulos retângulos e áreas de figuras planas. Esses conteúdos representam aproximadamente 25% das questões.

5. Probabilidade e estatística

A forma como a prova cobra Probabilidade e Estatística tende a privilegiar os estudantes mais bem preparados. Como no geral esses temas costumam ser vistos como simples, muitos não o estudam nem treinam o suficiente.
Grande engano! Nesses assuntos, o Enem requer a análise de gráficos e, geralmente, coloca algumas pegadinhas no meio. Em função disso, é importante que o estudante leia atentamente todos os dados do enunciado, resolva a questão e releia para saber se a resposta realmente condiz com o enunciado.
A prova pode, por exemplo, mostrar a probabilidade de determinado evento ocorrer. Mas, em vez de solicitar esse número encontrado pelo estudante, ela pode perguntar qual é a chance de algo não acontecer.

Como tirar de letra a parte de matemática

O primeiro passo para se sair bem em matemática no Enem é não se desesperar. Pode até parecer tolo dizer isso, mas é a verdade. Muitos candidatos perdem o foco quando percebem que o exercício possui um longo enunciado ou gráficos para analisar.
Como já visto, esse conteúdo costuma ser mais fácil do que aparenta ser. Assim, depois de ler a questão, comece a anotar todos os dados do problema e lembre-se das ferramentas que pode usar. É um problema de porcentagem? Análise combinatória? Função?
Manter a calma, ler atentamente e saber o máximo de conceitos é a chave para se sair bem no exame. Na hora de estudar matemática, vale a pena dar enfoque máximo na resolução de exercícios, especialmente dos que já foram cobrados.
Dessa forma, você não terá surpresas quando chegar o dia do exame. Quanto mais tipos de enunciados você tiver contato antes, mais fácil será para reconhecer o que a questão pede e, consequentemente, maiores serão os acertos.
Quer se preparar de verdade para o Enem com quem realmente é especialista em aprovação? Venha para o Kuadro. Temos o melhor cursinho on-line da atualidade, com professores disponíveis para qualquer dúvida e muitos recursos pedagógicos!

Radiciação: definição e operações

Neste post, vamos falar sobre Radiciação, assunto muito importante da Matemática. Para compreendê-lo, é importante ter conhecimento em Potenciação.

Radiciação

Definição

Sejam e a e b dois números maiores ou iguais a 0, pertencentes aos Reais (\inline \mathbb{R}) e n pertencente ao conjunto dos números Naturais (\inline \mathbb{N}) (n \inline \neq 0), temos:

\mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}} = b \Leftrightarrow a = b^{n}}

A Radiciação (operação com radicais) é a operação inversa da Potenciação.
Observação: O símbolo  (\inline \dpi{120} \Leftrightarrow) lê-se “se e somente se”.
Onde:

  • a é o radicando
  • n é o índice
  • b é a raiz
  • O símbolo “\mathbf{\sqrt{ }} ” é o radical

Exemplos a partir da definição:

  • \inline \mathbf{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{4}} = 2 \Leftrightarrow 4=2^{2}}
  • \inline \mathbf{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{27}} = 3 \Leftrightarrow 27=3^{3}}
  • \mathbf{\sqrt[\mathbf{5}]{\mathbf{32}} = 2 \Leftrightarrow 32=2^{5}}

Leitura

Lê-se \mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}}} : raiz n-ésima de a.

  • Quando n = 2, diz-se que a raiz é quadrada;
  • Quando n = 3, diz-se que a raiz é cúbica;
  • Quando n = 4, 5 …., diz-se que a raiz é quarta, quinta e assim por diante.

Propriedades a partir da Definição:

  • \mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}} = a}

A raiz n-ésima de um número elevado a n-ésima potência é o próprio número.

  • \sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}*{\mathbf{b}}}=\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}}*\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{b}};

A raiz do produto é o produto das raízes.

  • \sqrt[\mathbf{n}]{\frac{\mathbf{a}}{{\mathbf{b}}}}=\frac{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}}}{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{b}}}

A raiz da divisão (fração) é divisão (fração) das raízes.

  • \inline \left ( \sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{k}}} \right )^{\mathbf{m}} = \sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{k*m}}}

Em uma raíz índice n elevado à uma potência m, a potência m entra no radical multiplicando a potência k do radicando.
Perceba que se k = 1, \dpi{120} \left (\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}} \right )^{\mathbf{m}}=\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{m}}}!

  • \sqrt[\mathbf{n}]{\sqrt[\mathbf{m}]{\mathbf{a}}} = \sqrt[\mathbf{m*n}]{\mathbf{a}}

Raíz da raíz – A raíz com índice n da raíz com índice m é a raiz com índice m*n.

  • \inline \mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{m}}} = a^{\frac{m}{n}}}

Toda raíz pode ser expressa como uma potência com expoente fracionário!

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Exemplos:

a) \mathbf{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{3}^{\mathbf{2}}} = 3}
b) \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}*{\mathbf{2}}}=\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}}*\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}}
c) \dpi{120} \sqrt[\mathbf{2}]{\frac{\mathbf{4}}{{\mathbf{9}}}}=\frac{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{4}}}{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{9}}}=\frac{\mathbf{2}}{{\mathbf{3}}}
d) \dpi{120} \left ( \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}^{\mathbf{2}}} \right )^{\mathbf{2}} = \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}^{\mathbf{2*2}}}=\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}^{\mathbf{4}}}
e) \dpi{120} \sqrt[\mathbf{2}]{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{5}}} = \sqrt[\mathbf{2*3}]{\mathbf{5}}=\sqrt[\mathbf{6}]{\mathbf{5}}
f) \dpi{120} \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{4}^{\mathbf{2}}}=\mathbf{4}^{\frac{\mathbf{2}}{\textbf{3}}}

Simplificação de Radicais

Como calcular a \sqrt{32} ? Simples, só temos que decompor em fatores primos o radicando e lembrar da propriedade de radical do produto, para efetuar a simplificação.
32 = 2*2*2*2*2 = 2^{5} , então: \sqrt{32} = \sqrt{2^{5}} = \sqrt{2*2^{4}} = \sqrt{2}*\sqrt{2^{4}}=\sqrt{2}*2^{2} = \mathbf{4\sqrt{2}}
Observação: Quando não escrevemos índice no radical, significa que o índice é dois (2) (raiz quadrada).
Mais um exemplo. Como calcular a \sqrt{0,01} ?
0,01 = 1*10^{-2} ,  então: \sqrt{0,01}=\sqrt{1*10^{-2}}=\sqrt{1}*\sqrt{10^{-2}}=1*10^{-1}=\textbf{0,1}
Outro ecemplo: \sqrt{288}?
288 = 2^{5}*3^{2} , então: \sqrt{288} = \sqrt{2^{5}*3^{2}}=\sqrt{2*2^{4}*3^{2}}=\sqrt{2}*\sqrt{2^{4}}*\sqrt{3^{2}}=\sqrt{2}*2^{2}*3 = \mathbf{12\sqrt{2}}

Operação de Soma e Subtração com Radicais

Como fica a operação 3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}?
Bom, se os radicandos são iguais, fica assim: 3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2} = \sqrt{2} \left (3+2-1 \right ) = 4\sqrt{2}
E como fica \sqrt{2}+\sqrt{3}?
Fica assim mesmo. Não podemos fazer nada quando os radicandos são diferentes em relação à soma e subtração. \sqrt{2}+\sqrt{3}\neq \sqrt{5} { Nunca faça isso 🙂 }!

Multiplicação de Radicais

Relembre as propriedades no post anterior!
a) \sqrt{3}*\sqrt{3} = \sqrt{3*3} = \sqrt{3^{2}} = 3
b) \sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2*4} = \sqrt[3]{8} = 2
Obs: Outra forma de fazer: sabendo que \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}  e  \sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}} , então, \sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{4}=2^{\frac{1}{3}}*2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=2^{\frac{3}{3}}=2

Racionalização de Denominadores

Quando um radical aparece no denominador de uma fração, é conveniente que transformemos esse denominador para um número racional, ou seja, transformar um radical num número racional! Por exemplo, como racionalizar a expressão \frac{1}{\sqrt{3}} ?
Fazemos assim: \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1*\sqrt{3}}{\sqrt{3}*\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}
Multiplicamos a fração pelo radical do denominador, com isso formamos uma fração equivalente à inicial (fração fica inalterada) e transformamos um radical em um número racional.
E quando temos \frac{1}{\sqrt{2}+1}?
Fazemos assim: \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1*(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)*(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1
Nesses casos, em que o denominador é um fator composto por uma soma de parcelas (uma parcela racional e outra irracional), se for uma soma de parcelas, multiplicamos por um novo fator composto pela diferença entre essas mesmas parcelas e vice-versa.
Outro exemplo \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}?
Fica: \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1*(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})*(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}  = \sqrt{3}-\sqrt{2}

Faça Você!

Racionalize os seguintes radicais:
a) \frac{2}{\sqrt{5}-1}
b) \frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}

Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico sobre radiciação? Espero que sim!
Leia outros resumos aqui: Resumos Teóricos do Kuadro
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Fonte de Inspiração: Dante, Luiz Roberto Matemática : contexto & aplicações – 2. ed. – São Paulo : Ática, 2013.

Potenciação: definição e operações

Neste post vamos fazer falar sobre Potenciação, apresentando suas definições e propriedades!

Definição de Potenciação

Definimos a operação de Potenciação como uma forma de simplificar a operação de uma sequência de multiplicações. Por exemplo:

  • 2 * 2 = 22
  • 3 * 3  = 32 = 9
  • 2 * 2 * 2  = 23 = 8
  • 3 * 3 * 3 = 33 = 27

Generalizando, podemos escrever: a * a * a * (n vezes) * a = an

  • O número a é chamado de Base da Potência.
  • O número n é chamado de Expoente da Potência.

Leitura

an lê-se: a elavado a n-ésima potência ; a elevado à

  • Quando n = 2, diz-se que o número está elevado ao quadrado;
  • Quando n = 3, diz-se que o número está elevado ao cubo;
  • Quando n = 4, 5 …., diz-se que o número está elevado à quarta potência, quinta potência e assim por diante.

Propriedades a partir da Definição:

  • a1 = a (qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo)
  • a0 = 1 (qualquer número elevado à potencia de 0, o resultado é 1)
  • 1n = 1 (o número 1 elevado à qualquer potência o resultado é sempre 1)
  • 0n = 0 (o número 0 elevado à qualquer potência o resultado é sempre 0)

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Potência com Expoente Inteiro Positivo

Sejam m e n dois números pertencentes ao conjunto dos números Naturais (ℕ) e a e b pertencentes aos números Reais (), temos:

  • am*an=am+n

Multiplicação de Potências de mesma Base: Conserva-se a Base e soma-se os Expoentes.
Perceba que se tivermos: an*a=an+1

  • am/an=am-n

Divisão de Potências de mesma Base: Conserva-se a Base e subtrai-se os Expoentes.

  • \mathbf{(a^m)^{n} = a^{m*n}}

Potência de uma Potência: Conserva-se a Base e multiplica-se os Expoentes.

  • \mathbf{(a*b)^{m} = a^m*b^m}

A Potência do Produto é o Produto das Potências.

  • \mathbf{\left ( \frac{a}{b} \right )^n = \frac{a^n}{b^n}}

A Potência da Divisão (fração) é a Divisão (fração) das Potências.

Exemplos:

a) \mathbf{2^{2}*2^{3}=2^{2+3}=2^{5} = 32}

b) \mathbf{\frac{4^{4}}{4^{2}} = 4^{4-2} = 4^{2} = 16}

c) \mathbf{(3^2)^{2} = 3^{2*2} = 3^{4} = 81}

d) \mathbf{(2*3)^{2} = 2^2*3^2 = 4*9 = 36}

e) \mathbf{\left ( \frac{3}{4} \right )^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}}

Potência com Expoente Inteiro Negativo

Por definição, toda potência com expoente inteiro negativo é o inverso da potência com expoente positivo:
\mathbf{a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}}
E valem as mesmas propriedades vistas para o expoente inteiro positivo, ok?

Exemplos:

a) \mathbf{2^{-2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}}

b) \mathbf{\left (\frac{2}{3} \right )^{-2} = \left (\frac{1}{2/3} \right )^{2} = \left (\frac{3}{2} \right )^{2} = \frac{9}{4}}

Potências de Base 10

Vamos acompanhar esses exemplos:

  • \inline 10^{2} = 10*10 = 100
  • \inline 10^{3} = 10*10*10 = 100
  • 10^{4} = 10*10*10*10 = 10.000
  • Generalizando: \inline 10^{\mathbf{n}} = “1” seguido de n zeros

Observe que o número de zeros após o “1” é igual ao expoente da potência de 10.
Outros casos:

  • 0,1 = \inline \frac{1}{10} = 1*10^{-1}
  • 0,01 = \inline \frac{1}{100} = 1*10^{-2}
  • 0,001 = \inline \frac{1}{1000}=1*10^{-3}

Observe que o número de casas decimais é igual ao negativo do expoente da potência de 10.

Notação Científica

A notação científica permite escrever números usando potências de base 10. Um número expresso em notação científica está escrito como o produto de dois números reais: um número real pertencente ao intervalo [1 ; 9] e uma potência de 10.
Exemplos:

  • 200 = 2*100 = 2*\inline 10^{2}
  • 3.500 = 3,5*1.000 = 3,5*\inline 10^{3}
  • 0,0045 = 4,5/1000 = 4,5*10^{-3}
  • 1.420.000 = 1,42*10^{6}

Além de ser uma forma mais sintética de escrever números grandes, sua principal utilidade é a de fornecer a ideia da ordem de grandeza de um número que, se fosse escrito por extenso, não daria essa informação de modo tão imediato. E sua maior aplicação é melhor representar grandezas de valores muito grandes (como na Astronomia, por exemplo) ou de valores muito pequenos (como na Química, por exemplo).
Exemplos:
a) A distância média da Terra até o Sol é de 149 milhões e 600 mil km:
149.600.000 km  = 1.496*\inline 10^{5} = 1,496*10^{3}*10^{5} = 1,496*\inline 10^{8} km

b) A circunferência da Terra no Equador é de aproximadamente 40 mil km:
40.000 km = 40*\inline 10^{3} = 4*10*\inline 10^{3} = 4*\inline 10^{4} km
c) A massa de um átomo de Oxigênio é de 2,7*10^{-23} g
d) A massa de um átomo de Hidrogênio é de 1,6*\inline 10^{-24} g

Tranquilo? Acompanhou o esse post sobre Potenciação? Espero que sim!
Leia outros resumos aqui: Resumos Teóricos do Kuadro
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Resumo Teórico – Função do Primeiro Grau e seu Gráfico – Parte 2

Neste post, vamos continuar trabalhando com função do primeiro grau e seu gráfico. Vamos aprender a calcular os coeficientes angular e linear e também falar de taxa de variação da função! Se você não viu a primeira parte deste conteúdo, clique aqui.

Calculando os Coeficientes a e b a partir de um gráfico dado

Muitas vezes em um determinado problema, é dado um gráfico pronto e você precisa tirar conclusões a respeito. Normalmente, nesse tipo de problema, é importante descobrir a expressão matemática da função – em outras palavras, você vai precisar determinar os coeficientes angular e linear (a e b)!
Vamos usar o Exemplo 1 abaixo para ilustrar o passo a passo.

Exemplo 1: Dado o gráfico abaixo, vamos determinar os coeficientes a e b.

Dado um gráfico linear, como determinar os coeficientes a e b?
Dado um gráfico linear, como determinar os coeficientes a e b?

Vamos considerar os pontos P e Q no gráfico, conforme ilustrado abaixo:

Definindo os pontos P e Q, podemos calcular os coeficientes a e b!
Definindo os pontos P e Q, podemos calcular os coeficientes a e b!

Do conhecimento adquirido no post de plano cartesiano, sabemos que o ponto P é o par (0 ; 2) e que o ponto Q é o par (-1 ; 0). Correto?

Ora, também sabemos que os pontos P e Q pertencem à reta do gráfico. Se pertencem ao gráfico, então os pontos P e Q obedecem à lei de formação da função linear y = ax +b, certo? (Lembra do post de função da definição?).

Então certamente podemos fazer:

  • P (0 ; 2) \Rightarrow x = 0 e y = 2, mas  y = ax +b \Rightarrow  2 = a*0 + b \Rightarrow 2 = 0 + b \Rightarrow b = 2 
  • Q (-1 ; 0) \Rightarrow x = -1 e y = 0, mas  y = ax +b \Rightarrow 0 = a*-1 + b \Rightarrow mas b = 2 \Rightarrow 0 = -a + 2 \Rightarrow a = 2 

Então, com os pontos P e Q, calculamos os valores de a = 2 e b = 2!

E como fica então a expressão matemática da função do gráfico? Fica: y = 2x + 2!

Observações

Observação 1: Note que a reta do gráfico cortou o eixo y no ponto P(0 ; 2). E que o valor do coeficiente linear b = 2, certo?
Conclusão: o valor do coeficiente linear b é sempre igual a ordenada do ponto em que a reta do gráfico cortar o eixo y!
Observação 2: Poderíamos ter escolhido outros pontos do gráfico, mas escolhemos os pontos P e Q por uma questão de conveniência. O importante é que o passo a passo seria o mesmo, ok?

Pergunta 1: Teste outros pares ordenados que você observa no gráfico do exemplo 1 e veja se eles respeitam a lei y = 2x + 2 que acabamos de calcular!

Taxa de Variação da Função do Primeiro Grau (ou linear)

Observe abaixo o gráfico de uma função do primeiro grau (ou função) linear qualquer. Nele, vamos representar dois pontos P1 e P2, com suas respectivas abscissas (\mathbf{x_{1}} e \mathbf{x_{2}}) e ordenadas (\mathbf{y_{1}} e \mathbf{y_{2}}).

Função linear qualquer para calcular a taxa de variação.
Função linear qualquer para calcular a taxa de variação.

Podemos definir a taxa de variação de uma função como a relação:
\mathbf{ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}
A figura abaixo explicita melhor a definição:

Definindo taxa de variação da função linear.
Definindo taxa de variação da função linear.

Através da definição, o que estamos calculando na verdade é a tangente do ângulo \dpi{120} \mathbf{\alpha } que a reta da função faz com a horizontal (eixo x).

\mathbf{ tan\alpha = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

O resultado numérico dessa expressão é o nosso já conhecido coeficiente angular (a). Ele recebe esse nome por ser justamente o resultado da tangente do ângulo que a reta do gráfico faz com o eixo horizontal (eixo x).

Exemplo 2: Voltemos ao gráfico do Exemplo 1. Consideremos um novo ponto R conforme a figura abaixo. Vamos calcular a taxa de variação (ou o coeficiente angular) considerando o ponto R.

Gráfico linear com valores numéricos para calcular a taxa de variação.
Gráfico linear com valores numéricos para calcular a taxa de variação.

Coordenadas do primeiro ponto P(0 ; 2) e do segundo ponto R(2 ; 6). Temos portanto:

  • x1 = 0 e y1 = 2
  • x2 = 2 e y2 = 6

Aplicando a definição, temos: \mathbf{ tan\alpha = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{6 -2}{2 - 0}=\frac{4}{2}\Rightarrow tan\alpha = 2 } , que foi justamente o valor de (coeficiente angular) que calculamos no Exemplo 1!

Nota: Esse resultado serve para mostrar que quaisquer dois (2) pontos da reta servem para calcular os coeficientes angular e linear!
Segue o vídeo abaixo para consolidar o conhecimento:

Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico da segunda parte de função do primeiro grau? Espero que sim!
Fique sempre de olho no Blog do Kuadro e no Canal do Kuadro para mais Resumos Teóricos. Até mais!

Resumo Teórico – Função do Primeiro Grau e seu Gráfico – Parte 1

Neste post, vamos fazer um resumo teórico sobre função do primeiro grau, explicando o que são seus coeficientes e o formato geral do seu gráfico! Se você não conferiu os posts sobre Variáveis, Equações, Reta Numérica e Função, vá lá no blog e confira!

Definição

Uma função do primeiro grau é toda equação que pode ser escrita na forma y = ax + b, onde x é a variável independente e y é a variável dependente; a e b são constantes dentro do conjunto dos números reais (a \in \mathbb{R} e b \in \mathbb{R}). Já estamos habituados com esse formato, certo?
Por que a expressão do tipo y = ax + b é do primeiro grau? Isso está relacionado com o expoente da variável x na expressão y = ax + b. Note que o expoente vale 1 (\inline \mathbf{x^{1} = x}), como o expoente é 1, dizemos que a equação y = ax + b é do primeiro grau!

Exemplos:

a) y = x + 3 (a = 1 ; b = 3)

b) y = -2x + 1 (a = -2 ; b = 1)

c) y = 1,5x – 8 (a = 1,5 ; b = -8)

Gráfico de uma Função do Primeiro Grau

O Gráfico de uma função é uma representação no Plano Cartesiano do conjunto de pontos (x ; y) que tenham x pertencente ao Domínio e y = f(x) pertencente à Imagem da função f.

Exemplo 1: Como é o gráfico da função f(x) = 2x?

Vamos montar a Tabela 1 abaixo:

Tabela 1 do Exemplo 1.
Tabela 1 do Exemplo 1.

Perceba que a partir da Tabela 1, obtemos os seguintes pares ordenados: (-2 ; -4) ; (-1 ; -2) ; (0 ; 0) ; (1 ; 2) ; (2 ; 4). Certo?

Plotando esses pares ordenados no plano cartesiano:

Pares Ordenados do Exemplo 1.
Pares Ordenados do Exemplo 1.

O Gráfico da função f(x) = 2x então é formado ligando os pontos formados pelos pares ordenados:

Gráfico da função do Exemplo 1.

Comentários:

O Exemplo 1 acima mostrou que o gráfico da função f(x) = 2x, é uma reta que passa pela Origem O (0 ; 0) do sistema.
Podemos generalizar afirmando que toda função do primeiro grau apresenta um gráfico em forma de reta (linear)! Por isso, a função do primeiro grau recebe o nome de Função Linear. Ela também é conhecida como Função Afim.

Coeficientes Angular e Linear

As constantes a e b na expressão y = ax + b têm nomes específicos. A constante a é chamada de coeficiente angular e a constante b é chamada de coeficiente linear.
O Coeficiente angular (constante a) influencia diretamente na inclinação da reta em relação ao Eixo x.

Quanto maior o valor de a, mais inclinada fica a reta!
Quanto maior o valor do coeficiente angular a, mais inclinada fica a reta. A reta vermelha tem o maior valor para a.

O Coeficiente linear (constante b) não influencia na inclinação da reta, mas altera a posição da reta no plano (translada a reta).

O valor do coeficiente linear b, altera a posição da reta no plano cartesiano (translada a reta)!
O valor do coeficiente linear b, altera a posição da reta no plano cartesiano (translada a reta)!

Pergunta 1: Monte o gráfico das seguintes funções. Observe se são retas!

a) f(x) = 3x – 2

b) f(x) = (x/2) + 4

Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico da primeira parte de função do primeiro grau? Espero que sim!
No próximo posto vamos detalhar ainda mais o gráfico da função do primeiro grau!
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Resumo Teórico – Conceito de Função

Nest post vamos fazer um resumo teórico introduzindo o conceito de função. Vamos usar muitos conceitos apresentados no post de Conjuntos, Variáveis e Equações e do post de Reta Numérica e Par Ordenado! Vamos nessa!

Definição

Uma função f é uma lei (relação) que faz cada elemento x de um conjunto A corresponder a um único elemento y do conjunto B. Dizemos que y é a variável dependente e x a variável independente.

Esquema de uma função que transforma x em y.
Esquema de uma função que transforma x em y.

Podemos expressar matematicamente a definição das seguintes formas:

  • f: \rightarrow B ou f: \dpi{120} \xrightarrow[ ]{ f }(Lê-se: função ƒ  de A em B, ou aplicação ƒ de A em B, ou transformação ƒ de A em B.)
  • \mapsto(Lê-se: função ƒ transforma (ou leva) x em y.)
  • y = f(x) (Lê-se: y é uma função ƒ de x \Rightarrow o valor de y depende do valor atribuído a x).

Exemplo 1: Dada a expressão y = x + 2 . Lembra que podemos escrever y = f(x)? Com isso queremos dizer que o valor de y depende do valor de x! Então, vamos escolher três (3) valores para x e avaliar como y varia.

  • Quando x = -1, quanto vale f(-1) = ? ; f(x) = x + 2 \Rightarrow f(-1) = -1 + 2 \Rightarrow f(-1) = 2
  • Quando x = 0, quanto vale f(0) = ? ; f(x) = x + 2 \Rightarrow f(0) = 0 + 2 \Rightarrow f(0) = 3
  • Quando x = 1, quanto vale f(1) = ? ; f(x) = x + 2 \Rightarrow f(-1) = 1 + 2 \Rightarrow f(1) = 4

Comentários: Perceba que mostramos como o valor de y varia quando o valor de x varia, ou seja, o valor de y depende do valor de x.

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Domínio, Contradomínio e Imagem da Função

Voltando à primeira definição de função, o conjunto A é denominado de Domínio D(f) da função e o conjunto B é o Contradomínio CD(f). Para cada x \in D, o y \in CD é denominado de Imagem da função Im(f) ou Im.

Dominio e Contradominio de uma função f.
Dominio e Contradominio de uma função f.

Voltemos ao Exemplo 1: Perceba que poderíamos ter escolhido infinitos números para x e testar na expressão y = x + 2.
O conjunto {-1 ; 0 ; 1} é um subconjunto (muito pequeno) do Domínio D(f) da função. Por isso, podemos dizer que {-1 ; 0 ; 1} \subset D(f).
O conjunto {2 ; 3 ; 4} é um subconjunto (também muito pequeno) da Imagem Im(f) da função. Por isso, podemos dizer que {2 ; 3 ; 4} \subset Im(f).
Observação: Por tradição/convenção, a variável dependente é representada pela letra y; e a variável dependente é representada pela letra x. Mas em cada problema você pode usar as letras que achar mais conveniente. O importante é sempre definir qual variável é a independente e qual é a dependente.

Alguns Exemplos a partir da Definição

Exemplo 2: Algumas formas de expressar uma função:

a) y = 2x + 1

b) y = 4 – x

c) y = 1,5x – 4,25

Exemplo 3: Analisando através da Tabela 1 como o custo de abastecimento de combustível varia em função do volume de combustível. Pergunta-se:

Tabela 1 – O custo varia com o volume abastecido.

a) Quanto custa 1L de combustível? Qual a expressão que define o custo em função do volume?

R: Se 5L custam R$12,50, 1L custa 12,50/5 = 2,50.

Portanto, temos que C = 2,5V, onde C é o custo de abastecimento e V é o volume abastecido.

b) Quanto custa 8L de combustível?

R: Sabendo a forma da função Custo em função do Volume é C = 2,5V, temos que C = 2,5*8 \dpi{120} \Rightarrow C =  20,00.

c) Se alguém paga R$60,00, quantos litros essa pessoa abasteceu?

R: Substituindo na expressão C = 2,5V fica \dpi{120} \Rightarrow 60 = 2,5V \dpi{120} \Rightarrow V = 60/2,5 \dpi{120} \Rightarrow V = 24L

Comentários: Através do Exemplo 2, vimos que o custo de abastecimento C é dependente do volume abastecido V (variável independente). Com isso podemos dizer que nesse caso que a função y = f(x) pode ser escrita na forma C = f(V). 

Mais um exemplo!

Exemplo 4: Dado um retângulo com lado maior de m e lado menor n e perímetro de 24cm.

Retângulo do Exemplo 3

Nesse caso:

a) Qual a lei que rege a relação de m em função de n?

R: O perímetro (2p) de um retângulo é dada pela seguinte expressão 2p = 2m + 2n. Temos: 24 = 2m + 2n  \dpi{120} \Rightarrow 2m = 24 – 2n \dpi{120} \Rightarrow m = \mathbf{\frac{24 - 2n}{2}} (lei que define a relação entre o lado maior e menor).

b) Se o lado menor for 3cm, qual o valor do lado maior?

R: Sabendo que m = \mathbf{\frac{24 - 2n}{2}}, temos: m = {\frac{24 - 2*3}{2}} = \frac{18}{2} \dpi{120} \Rightarrow m = 9cm

Pergunta 1: Um automóvel em linha reta numa estrada percorre as distâncias (d) de acordo com os seguinte tempos (t):

Tabela da Pergunta 1

a) Determine a função que relaciona d e t.

b) Qual a distância percorrida após 5h de viagem?

Assista ao vídeo para consolidar os conhecimentos:
Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico de conceito de função? Espero que sim!
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Resumo Teórico – Plano Cartesiano e Pares Ordenados

Neste post, vamos fazer um resumo teórico sobre o Plano Cartesiano e Pares Ordenados. Vamos usar o conhecimento adquirido no post sobre Reta Numérica. Se não conferiu ainda, você confere aqui.

Plano Cartesiano

O Plano Cartesiano (nome dado em homenagem ao matemático e filósofo francês – René Descartes) é um sistema de referência formado por duas retas numéricas, uma horizontal e outra vertical, que se cruzam num ponto chamado de Origem (O) formando um ângulo entre si de 90º (portanto, são perpendiculares).

Rene Descartes — Fotografia de Stock
René Descartes (1596-1650)

O eixo horizontal é denominado de eixo das abscissas, ou eixo X. Os valores positivos estão em ordem crescente do lado direito em relação à Origem O. Por consequência, os valores negativos estão do lado esquerdo.
O eixo vertical é denominado de eixo das ordenadas, ou eixo Y. Os valores positivos estão em ordem crescente na direção para cima em relação à Origem O. Por consequência, os valores negativos estão na direção para baixo.
A figura 1 descreve bem esse conceito:

Figura 1 – Plano Cartesiano

Quadrantes do Plano Cartesiano

Notamos na figura 1 que surgiram quatro (4) regiões no Plano. Essas regiões são chamadas de quadrantes. A Figura 2 ilustra melhor:

Figura 2 – Plano Cartesiano e seus Quadrantes.

A região com valores positivos para ambos x e y é chamada de 1º Quadrante (IQ);
A região com valores negativos para x e positivos  y é chamada de 2º Quadrante (IIQ);
A região com valores negativos para ambos x e y é chamada de 3º Quadrante (IIIQ);
A região com valores positivos para x e negativos  y é chamada de 4º Quadrante (IVQ);

Coordenadas de um Ponto – Par Ordenado

E qual a função do plano cartesiano? Como já foi dito, o plano cartesiano é um sistema de referência usado para descrever a posição de pontos em um plano. Para tanto, faz uso do conceito de coordenadas ou pares ordenados.
Um par ordenado ou coordenada de um ponto é uma estrutura do tipo P: (x ; y), onde a primeira posição é a quantidade de unidades em relação à Origem O do ponto P no eixo das abscissas (X); a segunda posição é a quantidade de unidades em relação à Origem O do ponto no eixo das ordenadas (Y) .

Exemplo 1: Exemplo de pares ordenados:

a) P: (4 ; 5)

b) Q: (-2 ; -3)

c) R: (0 ; -3,5)

Atenção: Num par ordenado a ordem em que os números aparecem importa. Dessa maneira (1 ; 2) é diferente de (2 ; 1). Não é por outro motivo que o par é chamado de ordenado!

Exemplo 2: Imagine que você more na origem O do sistema. Para chegar na casa do seu amigo, você caminha três (3) quadras para a direita e depois duas (2) quadras para cima. Supondo que cada unidade dos eixos X e Y sejam medidas em quadras, como localizar a casa do seu amigo em relação à sua?

Figura do Exemplo 2.

Pela figura do exemplo 2, note que a casa do seu amigo está perfeitamente localizada em relação a você (origem do sistema). Chamando a casa do seu amigo de Ponto A, temos então: A: (3 ; 2)

Exemplo 3: Localize no plano cartesiano os seguintes pontos:

a) A: (2 ; 3)

b) B: (-3 ; 1)

c) C: (3 ; -2)

Figura do Exemplo 3.

Comentários:

Para localizar o ponto A (2 ; 3), note que a abscissa é +2 (duas unidades para a direita no eixo X); ao se chegar nesse ponto, trace uma paralela ao eixo Y (linha pontilhada em vermelho), no sentido para cima, medindo três (3) unidades, uma vez que a ordenada do ponto A é +3.

Para localizar o ponto B (-3 ; 1), note que a abscissa é -3 (três unidades para a esquerda no eixo X); ao se chegar nesse ponto, trace uma paralela ao eixo Y (linha pontilhada em vermelho), no sentido para cima, medindo uma (1) unidade, uma vez que a ordenada do ponto A é +1.

Para localizar o ponto C (3 ; -2), note que a abscissa é +3 (três unidades para a direita no eixo X); ao se chegar nesse ponto, trace uma paralela ao eixo Y (linha pontilhada em vermelho), no sentido para baixo, medindo duas (2) unidades, uma vez que a ordenada do ponto A é -2.

Mais alguns exemplos

Exemplo 4: Se (x ; y) = (1 ; 3), quanto vale a expressão 2x + y – 1?

Resposta: Para que dois pares ordenados sejam iguais, as abcissas e ordenadas devem ser iguais!

Portanto, x = 1 e  = 3 \Rightarrow 2x + y – 1 = 2*1 + 3 – 1 = 4

Exemplo 5: Se (x ; y) = (-2 ; 0), quanto vale a expressão 3x – 2y?

Resposta: x = -2 e  = 0 \Rightarrow 3x – 2y  = 3*(-2) + 2*0 = -6 + 0 = -6

Veja o vídeo abaixo para consolidar os conhecimentos adquridos até aqui nesse resumo teórico:

Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico de plano cartesiano e pares ordenados? Espero que sim!
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Reta Numérica e Classificação dos Números

O objetivo deste post foi fazer uma revisão sobre a Reta Numérica e a Classificação dos Números. Este estudo é muito importante para os conceitos de Plano Cartesiano e Par Ordenado!
Inicialmente para tratar de reta numérica, vamos considerar somente os números inteiros (\mathbb{Z}).

Reta Númerica

A Reta Numérica pode ser definida como uma linha horizontal com pontos igualmente espaçados, onde a cada ponto corresponde um número inteiro. Por convenção, o sentido crescente da reta é para o lado direito, conforme o sentido da seta.

Do lado esquerdo do zero (0), ficam os números inteiros negativos.

Números Opostos

Dizemos que um número é oposto de outro quando eles estão em lados opostos na reta numérica, mas à mesma distância do zero. Por exemplo, -1 e 1 são opostos; -3 e 3 são opostos e assim por diante. Em termos práticos, basta trocar o sinal do número para ter o seu oposto.
Ok, entendi! Mas, entre um número e outro não cabe nada? Cadê as frações? Ótima pergunta!

Frações e Decimais na Reta Numérica

Além dos números inteiros e seus opostos, a reta numérica contém as frações e decimais positivos e negativos. Estes são posicionados entre os números inteiros, em intervalos que refletem o tamanho da fração. Por exemplo, entre 0 e 1 podemos posicionar as frações (1/4), (1/2) e (2/3) da seguinte forma:

De uma maneira mais geral, podemos ter:
Frações na reta numérica
Vamos fazer uma exemplo:

Exemplo 1: Identifique quais os número em cada caso:

Exercício de frações na reta numérica

a) A   (R: -4)
b) B   (R: -2,5)
c) C   (R: 0)
d) D  (R: 3,5)
e) E   (R: 4)

Números Naturais, Inteiros e Racionais

Os Números Naturais são os números do conjunto \mathbb{N} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … }, os quais foram e são usados para contar objetos do mundo real. O zero não é considerado um número natural.
Os Números Inteiros são os números do conjunto \mathbb{Z} = {… , -4-3-2-1, 0, 1, 2, 3, 4, … }, os quais incluem os números naturais e seus opostos e também o zero.
Os Números Racionais (\mathbb{Q}) são os números que podem ser expressos em forma de fração, ou seja, podem ser expressos na forma \frac{a}{b}, com a condição que b \neq 0. Por exemplo, 4 pode ser expresso como \frac{4}{1} ; -1,3333… pode ser expresso como \frac{4}{3}.

Portanto, todos os números Naturais e Inteiros são Racionais, mas nem todos os Racionais são Inteiros e nem todos os Inteiro são Naturais!

Podemos resumir essa classificação usando Conjuntos, da seguinte forma:

Números Irracionais

Os Números Irracionais são números com casas decimais (não são Inteiros e nem Naturais), que não se repetem (não são dízimas periódicas) e não podem ser expressos em forma de fração. Portanto, estão fora das 3 classificações vistas anteriormente.
Por exemplo, faça esse cálculo \sqrt{3} na sua calculadora e veja que o resultado recai nessa definição. Portanto, \sqrt{3} é um Número Irracional. Na Reta Numérica, posicionando por exemplo \sqrt{2} (1,4142…) e \sqrt{3} (1,7320…) fica assim:

Pergunta 1: Classifique cada número nos casos abaixo entre Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais:

a) -3; 2,5; 7; \sqrt{5}
b) -1,4142…; 7,75 ; 11 ; -1
c) 37 ; -1,125 ; -1,7320…; 2,333…

Números Reais

Os Números Reais (\mathbb{R}) são definidos como o conjunto formado pelo conjuntos dos Números Racionais e dos Números Irracionais. Portanto:

  • todo número natural (1,2,3…) é Real;
  • todo número inteiro (…,-1, 0, 1,…) é Real;
  • todo número racional (…, -1/2, -1/4, 0, 1/2, 1/4 ,…) é Real;
  • todo número irracional também é Real (…, –\sqrt{3}, –\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}\sqrt{3}, …)!


Em forma de Diagrama de Venn, temos:
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Introdução à Álgebra: Equações

No post anterior o resumo teórico foi sobre Introdução à Álgebra. Se não conferiu ainda, você confere aqui. Agora que já sabemos o que são Variáveis e Expressões Algébricas, podemos falar em Equações!

Introdução à Álgebra: Equações

Define-se Equação como a igualdade entre duas expressões algébricas. Simplesmente isso! Seguem abaixo três exemplos de equação:

a) a + b = 7

b) x + 3y = 12

c) 3m = 2n – 11

Guarde isso: A diferença entre uma Equação e uma Expressão Algébrica é que numa equação existe o sinal de igualdade (“=”).

Termos da Equação

O termo de uma equação é definido como o produto de um número por uma variável. Não importa em qual lado da igualdade os termos estão. Também é definido como termo quando um número aparece sozinho. Nesse caso, dá-se o nome de constante para esse termo.

Exemplo 1: Quantos termos têm as equações abaixo:

a) 2a = 6  (dois termos)

b) x – 3y = 0  (três termos)

c) 3p + 4q – 2r = 7  (quatro termos)

Problemas envolvendo Equações

Como nós vimos no post anterior, as expressões algébricas (e portanto as equações) são usadas para traduzir em linguagem matemática problemas do cotidiano, com o objetivo de se achar uma solução para esse problema.
Exemplo 2: Estou lendo um livro de 130 páginas, e estou na página 87. Quantas páginas ainda faltam para o final? Transformando em linguagem matemática: 87 + p = 130, onde p representa a variável “páginas faltantes”.

Exemplo 3: O pai tem o triplo da idade do filho menos 4 anos. Se o pai tem 44 anos, quantos anos tem o filho? Transformando em linguagem matemática: p = 3f -4, onde p e f representam as idades do pai e do filho, respectivamente.

Como resolver esses problemas? Para isso, precisamos achar a solução da equação!

Solução da Equação

Solução de uma equação é o número que, quando colocado no lugar da variável da equação, torna a igualdade verdadeira.
Exemplos:
a) Na equação x + 3 = 5: substituir a a variável x por 2 torna a igualdade verdadeira (2 + 3 = 5) \Rightarrow x = 2 é a solução da equação x + 3 = 5.
b) Na equação 3m + 4 = 7: substituir a variável por 1 torna a igualdade verdadeira (3*1 + 4 = 7) \Rightarrow m = 1 é a solução da equação 3m + 4 = 7.

Técnica para Resolver uma Equação

Resolver uma equação é achar a solução da equação. A técnica clássica é isolar os termos da equação, ou seja, de um lado da igualdade devem ficar os termos contendo as variáveis e, do outro lado, os termos sem variáveis (constantes). Ok?
Atenção: Ao se aplicar essa técnica, deve-se prestar muita atenção para o fato de que um termo, ao mudar de lado da igualdade, muda de operação matemática, ou seja, se o termo for positivo, passa para o outro lado negativo (e vice-versa); se estiver multiplicando, passa para o outro lado dividindo (e vice versa).
Agora vamos usar como referência os Exemplos 2 e 3!

a) 87 + p = 130 \Rightarrow p = 130 – 87 \Rightarrow p = 43 (solução da equação: faltam 43 páginas para o fim do livro)

b) p = 3f – 4 \Rightarrow 44 = 3f – 4 \Rightarrow 44 + 4 = 3f  \Rightarrow 48 = 3\Rightarrow f = \frac{48}{3} \Rightarrow f = 16 (solução da equação: se o pai tem 44 anos, o filho tem 16 anos)

Explicações:
Na letra a), do lado esquerdo da igualdade ficou o termo com a variável (p); o termo 87 que era positivo, passou para o lado direito mudando de sinal, ficando negativo.
Na letra b), para poder resolver a equação, usamos o conceito de atribuir valores à variável visto no post anterior, de Introdução à Álgebra – Variáveis e Expressões Algébricas. Com isso, do lado direito da igualdade ficou o termo com a variável (3f); o termo -4 que era negativo, passou para o lado esquerdo mudando de sinal, ficando positivo. Em seguida, o número 3 está multiplicando a variável f, portanto, ao mudar de lado da igualdade, ele passa dividindo.
Tranquila essa parte da Introdução à Álgebra? Espero que sim!
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