Resumo Teórico – Introdução à Estatística – Parte 2

No post anterior fizemos um resumo teórico com uma Introdução à Estatística e falamos de uma medida de posição chamada de Média Aritmética! Se não viu ainda, você confere ele aqui, Neste post, vamos falar das outras medidas de posição. Vamos nessa?

Média Ponderada

Imagine a seguinte situação: Em um determinado concurso, cada disciplina tem peso diferente, conforme a seguir:

Essa situação é bem comum em Vestibulares e Concursos. Certo! E vamos supor que alguém tenha feito esse concurso e tenha tirado as seguintes notas em cada matéria:

Vamos responder à pergunta do Exemplo 1 a seguir:

Exemplo 1: Dado que as matérias têm pesos diferentes entre si, qual a média dessa pessoa no concurso?

Vimos que para calcular a Média Aritmética, bastava somar todos os valores e dividir pelo número de valores.
No caso da Média Ponderada (do latim pendere – “pesar”), considera-se pesos diferentes para cada valor da grandeza que estamos trabalhando – nesse caso, as notas de cada disciplina do concurso.

Definição Formal

Define-se Média Ponderada como a soma dos produtos dos valores quantitativos de uma determinada característica de uma determinada amostra, pelos respectivos pesos que cada um desses valores possuem.
Expressando em formato matemático, temos:

MP = \frac{\left ( x_{1}*p_{1}+x_{2}*p_{2}+x_{3}*p_{3}+...+x_{n}*p_{n} \right )}{p_{1}+p_{2}+p_{3}+...+p_{n}}

Onde:

  • MP  Média Ponderada
  • x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n} ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
  • p_{1},p_{2},p_{3}...p_{n} ⇒ pesos para cada valor quantitativo
  • n  número de elementos na amostra

Aplicando a definição ao Exemplo 1, temos:
MP=\frac{\left (6,0*3+7,0*3+8,0*2+9,0*1 \right )}{3+3+2+1}

MP = \frac{\left (18+21+16+9 \right )}{9} = \frac{64}{9}  ⇒ MP = 7,11

Onde:

  • (6,0 ; 7,0 ; 8,0 ; 9,0) ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra (notas em cada matéria)
  • (3 ; 3 ; 2 ; 1) ⇒ pesos para cada valor quantitativo

Com isso, sabe-se então que a média da pessoa no concurso foi 7,11. Correto?

Pergunta 1: Se em outro concurso caíssem as mesmas matérias e mais Química (peso 3) e a nota da pessoa fosse 7,0, qual seria a média nesse novo concurso?

Pergunta 2: O que aconteceria se os pesos de cada matéria fossem todos iguais a 1?

Confira o vídeo abaixo e consolide o conhecimento adquirido até aqui!

Média Geométrica

A Definição de Média Geométrica é a raiz n-ésima do produto dos valores quantitativos de alguma característica da amostra em estudo.
Matematicamente temos que:  \mathbf{\mathit{\mathbf{MG }}}= \sqrt[n]{\left (x_{1}*x_{2}*x_{3}*...*x_{n} \right )}
Onde:

  • MG  Média Geométrica
  • x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n} ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
  • n  número de elementos na amostra

Calma! Parece complicado mas não é não. Vamos fazer alguns exemplos:

Exemplo 3: Qual a média geométrica entre 3 e 27?

Temos 2 números, portanto n = 2. Então,  \mathit{MG }= \sqrt[2]{3*27} = \sqrt[2]{81} ⇒ MG = 9

Exemplo 4: Qual a média geométrica entre 2, 5 e 6,4?

Temos 3 números, portanto n = 3. Então, \mathit{MG }= \sqrt[3]{2*5*6,4} = \sqrt[3]{64} ⇒ MG = 4

Pergunta 3: Como exercício, faça a média aritmética dos valores dos exemplos 3 e 4 e compare!

Confira o vídeo abaixo para consolidar o conhecimento adquirido:

Média Harmônica

A Média Harmônica é definida como a fração do número de elementos (n) de uma dada amostra dividido pela soma dos inversos dos valores quantitativos da amostra. Matematicamente fica:

\mathbf{\mathit{MH }}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+...+\frac{1}{x_{n}}}

Onde:

  • MH  Média Harmônica
  • x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n} ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
  • n  número de elementos na amostra

Vamos fazer alguns exemplos pra ficar claro!

Exemplo 5: Qual a média harmônica entre 3 e 6?

Temos 2 números, portanto n = 2. Então, \mathbf{\mathit{MH }}= \frac{2}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{2}{6}+\frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{3}{6}} = \frac{2}{1}*\frac{6}{3} = \frac{12}{3}MH = 4

Exemplo 6: Qual a média harmônica entre 2, 4 e 8?

Temos 3 números, portanto n = 3. Então, \mathbf{\mathit{MH }}= \frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}} = \frac{3}{\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}} = \frac{3}{\frac{7}{8}} = \frac{3}{1}*\frac{8}{7} = \frac{24}{7} ⇒MH = 3,43

Pergunta 4: Como exercício, faça a média aritmética dos valores dos exemplos 5 e 6 e compare!

Confira o vídeo abaixo para fixar melhor o conteúdo:

Tranquilo? Acompanhou mais esse resumo tórico da segunda parte de introdução à estatística? Espero que sim!
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Resumo Teórico – Introdução à Estatística – Parte 1

O que é Estatística?

Este resumo teórico vai introduzir conceitos básicos da área de Estatística, que é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como médias (aritmética, ponderada, geométrica, etc.) ou desvio padrão.

Objetivo da Estatística

Tirar conclusões sobre Populações com base nos resultados observados em Amostras extraídas dessas populações.

Alguns Conceitos

População: É o conjunto de elementos com ao menos uma característica comum, a qual deve delimitar claramente quais elementos pertencem à população e quais elementos não pertencem.

Exemplo: duas populações possíveis para um estudo estatístico poderiam ser: 1) a sua família ou 2) a sua sala de aula. Em ambos os casos, é fácil ver que existe um número de indivíduos que pertencem ao grupo 1 ou ao grupo 2 e portanto formam a população daquele grupo.

Amostra: É um  subconjunto de uma população, onde todos os seus elementos serão examinados para efeito da realização do estudo estatístico desejado.

Exemplo: Voltando ao exemplo dos grupos 1 e 2, uma amostra possível para o grupo 1, poderia ser só os seus primos (ficam de fora, seus pais, irmãos, tios, etc.). Já para o grupo 2, poderia ser só as meninas da turma (os meninos ficam de fora, obviamente!). Note que uma Amostra conta sempre com menos indivíduos que o total da População!

No dia a dia: Um exemplo muito corriqueiro do uso da Estatística é quando provamos a comida coletando apenas uma “pitada” do molho, por exemplo. Ora, através dessa prova conseguimos estimar com bastante precisão se falta sal ou não; ou se colocamos muita pimenta… Não é verdade? Você consegue determinar quem seria população e quem seria amostra nesse exemplo?

Medidas de Posição

Muitas vezes é necessário resumir certas características das distribuições de dados por meio de certas quantidades. Essas quantidades são usualmente denominadas de Medidas, por quantificarem alguns aspectos de interesse no estudo.

Exemplo: Qual a média de idade dos seus primos? Ou… Qual a média de altura das meninas da turma?

As principais medidas de posição que caem no vestibular são as Médias: Aritmética, Ponderada, Geométrica e Harmônica.
Neste post, vamos detalhar a definição e uma aplicação da Média Aritmética!

Média Aritmética

Define-se Média Aritmética como a soma dos valores quantitativos de uma característica de uma determinada amostra, dividido pelo número total de elementos da amostra.
Expressando em formato matemático, temos: MA = \frac{(x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n})}{n}
Onde:
MA Média Aritmética
x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n} ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
n número de elementos na amostra

Exemplificando: Você tem 3 primos: Marcos (17 anos), João (14 anos) e Henrique (8 anos). Analisando o exemplo através da definição apresentada, temos:

  • Amostra de Interesse:                                  seus primos
  • Característica da Amostra:                         idade (em anos)
  • Valores Quantitativos (x1, x2…):               17, 14 e 11
  • Número de Elementos da Amostra (n):    3

Pergunta 1: Qual a Média Aritmética das idades deles? Simples! Basta fazer:

MA = \frac{17+14+8}{3} = \frac{39}{3} \Rightarrow MA = 13

Portanto, a média aritmética da idade dos primos é 13 anos!

Pergunta 2: Se você incluísse mais uma prima sua na amostra (Luíza, com 12 anos), qual seria a nova Média Aritmética da idade dos seus primos?

No vídeo abaixo, temos outros exemplos de Média Aritmética no nosso dia a dia:

Tranquilo? Espero que sim!
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Fonte: Apostila da USP

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