Radiciação: definição e operações

Neste post, vamos falar sobre Radiciação, assunto muito importante da Matemática. Para compreendê-lo, é importante ter conhecimento em Potenciação.

Radiciação

Definição

Sejam e a e b dois números maiores ou iguais a 0, pertencentes aos Reais (\inline \mathbb{R}) e n pertencente ao conjunto dos números Naturais (\inline \mathbb{N}) (n \inline \neq 0), temos:

\mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}} = b \Leftrightarrow a = b^{n}}

A Radiciação (operação com radicais) é a operação inversa da Potenciação.
Observação: O símbolo  (\inline \dpi{120} \Leftrightarrow) lê-se “se e somente se”.
Onde:

  • a é o radicando
  • n é o índice
  • b é a raiz
  • O símbolo “\mathbf{\sqrt{ }} ” é o radical

Exemplos a partir da definição:

  • \inline \mathbf{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{4}} = 2 \Leftrightarrow 4=2^{2}}
  • \inline \mathbf{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{27}} = 3 \Leftrightarrow 27=3^{3}}
  • \mathbf{\sqrt[\mathbf{5}]{\mathbf{32}} = 2 \Leftrightarrow 32=2^{5}}

Leitura

Lê-se \mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}}} : raiz n-ésima de a.

  • Quando n = 2, diz-se que a raiz é quadrada;
  • Quando n = 3, diz-se que a raiz é cúbica;
  • Quando n = 4, 5 …., diz-se que a raiz é quarta, quinta e assim por diante.

Propriedades a partir da Definição:

  • \mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}} = a}

A raiz n-ésima de um número elevado a n-ésima potência é o próprio número.

  • \sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}*{\mathbf{b}}}=\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}}*\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{b}};

A raiz do produto é o produto das raízes.

  • \sqrt[\mathbf{n}]{\frac{\mathbf{a}}{{\mathbf{b}}}}=\frac{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}}}{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{b}}}

A raiz da divisão (fração) é divisão (fração) das raízes.

  • \inline \left ( \sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{k}}} \right )^{\mathbf{m}} = \sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{k*m}}}

Em uma raíz índice n elevado à uma potência m, a potência m entra no radical multiplicando a potência k do radicando.
Perceba que se k = 1, \dpi{120} \left (\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}} \right )^{\mathbf{m}}=\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{m}}}!

  • \sqrt[\mathbf{n}]{\sqrt[\mathbf{m}]{\mathbf{a}}} = \sqrt[\mathbf{m*n}]{\mathbf{a}}

Raíz da raíz – A raíz com índice n da raíz com índice m é a raiz com índice m*n.

  • \inline \mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{m}}} = a^{\frac{m}{n}}}

Toda raíz pode ser expressa como uma potência com expoente fracionário!

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Exemplos:

a) \mathbf{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{3}^{\mathbf{2}}} = 3}
b) \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}*{\mathbf{2}}}=\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}}*\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}}
c) \dpi{120} \sqrt[\mathbf{2}]{\frac{\mathbf{4}}{{\mathbf{9}}}}=\frac{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{4}}}{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{9}}}=\frac{\mathbf{2}}{{\mathbf{3}}}
d) \dpi{120} \left ( \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}^{\mathbf{2}}} \right )^{\mathbf{2}} = \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}^{\mathbf{2*2}}}=\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}^{\mathbf{4}}}
e) \dpi{120} \sqrt[\mathbf{2}]{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{5}}} = \sqrt[\mathbf{2*3}]{\mathbf{5}}=\sqrt[\mathbf{6}]{\mathbf{5}}
f) \dpi{120} \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{4}^{\mathbf{2}}}=\mathbf{4}^{\frac{\mathbf{2}}{\textbf{3}}}

Simplificação de Radicais

Como calcular a \sqrt{32} ? Simples, só temos que decompor em fatores primos o radicando e lembrar da propriedade de radical do produto, para efetuar a simplificação.
32 = 2*2*2*2*2 = 2^{5} , então: \sqrt{32} = \sqrt{2^{5}} = \sqrt{2*2^{4}} = \sqrt{2}*\sqrt{2^{4}}=\sqrt{2}*2^{2} = \mathbf{4\sqrt{2}}
Observação: Quando não escrevemos índice no radical, significa que o índice é dois (2) (raiz quadrada).
Mais um exemplo. Como calcular a \sqrt{0,01} ?
0,01 = 1*10^{-2} ,  então: \sqrt{0,01}=\sqrt{1*10^{-2}}=\sqrt{1}*\sqrt{10^{-2}}=1*10^{-1}=\textbf{0,1}
Outro ecemplo: \sqrt{288}?
288 = 2^{5}*3^{2} , então: \sqrt{288} = \sqrt{2^{5}*3^{2}}=\sqrt{2*2^{4}*3^{2}}=\sqrt{2}*\sqrt{2^{4}}*\sqrt{3^{2}}=\sqrt{2}*2^{2}*3 = \mathbf{12\sqrt{2}}

Operação de Soma e Subtração com Radicais

Como fica a operação 3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}?
Bom, se os radicandos são iguais, fica assim: 3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2} = \sqrt{2} \left (3+2-1 \right ) = 4\sqrt{2}
E como fica \sqrt{2}+\sqrt{3}?
Fica assim mesmo. Não podemos fazer nada quando os radicandos são diferentes em relação à soma e subtração. \sqrt{2}+\sqrt{3}\neq \sqrt{5} { Nunca faça isso 🙂 }!

Multiplicação de Radicais

Relembre as propriedades no post anterior!
a) \sqrt{3}*\sqrt{3} = \sqrt{3*3} = \sqrt{3^{2}} = 3
b) \sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2*4} = \sqrt[3]{8} = 2
Obs: Outra forma de fazer: sabendo que \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}  e  \sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}} , então, \sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{4}=2^{\frac{1}{3}}*2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=2^{\frac{3}{3}}=2

Racionalização de Denominadores

Quando um radical aparece no denominador de uma fração, é conveniente que transformemos esse denominador para um número racional, ou seja, transformar um radical num número racional! Por exemplo, como racionalizar a expressão \frac{1}{\sqrt{3}} ?
Fazemos assim: \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1*\sqrt{3}}{\sqrt{3}*\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}
Multiplicamos a fração pelo radical do denominador, com isso formamos uma fração equivalente à inicial (fração fica inalterada) e transformamos um radical em um número racional.
E quando temos \frac{1}{\sqrt{2}+1}?
Fazemos assim: \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1*(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)*(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1
Nesses casos, em que o denominador é um fator composto por uma soma de parcelas (uma parcela racional e outra irracional), se for uma soma de parcelas, multiplicamos por um novo fator composto pela diferença entre essas mesmas parcelas e vice-versa.
Outro exemplo \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}?
Fica: \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1*(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})*(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}  = \sqrt{3}-\sqrt{2}

Faça Você!

Racionalize os seguintes radicais:
a) \frac{2}{\sqrt{5}-1}
b) \frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}

Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico sobre radiciação? Espero que sim!
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Fonte de Inspiração: Dante, Luiz Roberto Matemática : contexto & aplicações – 2. ed. – São Paulo : Ática, 2013.

Potenciação: definição e operações

Neste post vamos fazer falar sobre Potenciação, apresentando suas definições e propriedades!

Definição de Potenciação

Definimos a operação de Potenciação como uma forma de simplificar a operação de uma sequência de multiplicações. Por exemplo:

  • 2 * 2 = 22
  • 3 * 3  = 32 = 9
  • 2 * 2 * 2  = 23 = 8
  • 3 * 3 * 3 = 33 = 27

Generalizando, podemos escrever: a * a * a * (n vezes) * a = an

  • O número a é chamado de Base da Potência.
  • O número n é chamado de Expoente da Potência.

Leitura

an lê-se: a elavado a n-ésima potência ; a elevado à

  • Quando n = 2, diz-se que o número está elevado ao quadrado;
  • Quando n = 3, diz-se que o número está elevado ao cubo;
  • Quando n = 4, 5 …., diz-se que o número está elevado à quarta potência, quinta potência e assim por diante.

Propriedades a partir da Definição:

  • a1 = a (qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo)
  • a0 = 1 (qualquer número elevado à potencia de 0, o resultado é 1)
  • 1n = 1 (o número 1 elevado à qualquer potência o resultado é sempre 1)
  • 0n = 0 (o número 0 elevado à qualquer potência o resultado é sempre 0)

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Potência com Expoente Inteiro Positivo

Sejam m e n dois números pertencentes ao conjunto dos números Naturais (ℕ) e a e b pertencentes aos números Reais (), temos:

  • am*an=am+n

Multiplicação de Potências de mesma Base: Conserva-se a Base e soma-se os Expoentes.
Perceba que se tivermos: an*a=an+1

  • am/an=am-n

Divisão de Potências de mesma Base: Conserva-se a Base e subtrai-se os Expoentes.

  • \mathbf{(a^m)^{n} = a^{m*n}}

Potência de uma Potência: Conserva-se a Base e multiplica-se os Expoentes.

  • \mathbf{(a*b)^{m} = a^m*b^m}

A Potência do Produto é o Produto das Potências.

  • \mathbf{\left ( \frac{a}{b} \right )^n = \frac{a^n}{b^n}}

A Potência da Divisão (fração) é a Divisão (fração) das Potências.

Exemplos:

a) \mathbf{2^{2}*2^{3}=2^{2+3}=2^{5} = 32}

b) \mathbf{\frac{4^{4}}{4^{2}} = 4^{4-2} = 4^{2} = 16}

c) \mathbf{(3^2)^{2} = 3^{2*2} = 3^{4} = 81}

d) \mathbf{(2*3)^{2} = 2^2*3^2 = 4*9 = 36}

e) \mathbf{\left ( \frac{3}{4} \right )^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}}

Potência com Expoente Inteiro Negativo

Por definição, toda potência com expoente inteiro negativo é o inverso da potência com expoente positivo:
\mathbf{a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}}
E valem as mesmas propriedades vistas para o expoente inteiro positivo, ok?

Exemplos:

a) \mathbf{2^{-2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}}

b) \mathbf{\left (\frac{2}{3} \right )^{-2} = \left (\frac{1}{2/3} \right )^{2} = \left (\frac{3}{2} \right )^{2} = \frac{9}{4}}

Potências de Base 10

Vamos acompanhar esses exemplos:

  • \inline 10^{2} = 10*10 = 100
  • \inline 10^{3} = 10*10*10 = 100
  • 10^{4} = 10*10*10*10 = 10.000
  • Generalizando: \inline 10^{\mathbf{n}} = “1” seguido de n zeros

Observe que o número de zeros após o “1” é igual ao expoente da potência de 10.
Outros casos:

  • 0,1 = \inline \frac{1}{10} = 1*10^{-1}
  • 0,01 = \inline \frac{1}{100} = 1*10^{-2}
  • 0,001 = \inline \frac{1}{1000}=1*10^{-3}

Observe que o número de casas decimais é igual ao negativo do expoente da potência de 10.

Notação Científica

A notação científica permite escrever números usando potências de base 10. Um número expresso em notação científica está escrito como o produto de dois números reais: um número real pertencente ao intervalo [1 ; 9] e uma potência de 10.
Exemplos:

  • 200 = 2*100 = 2*\inline 10^{2}
  • 3.500 = 3,5*1.000 = 3,5*\inline 10^{3}
  • 0,0045 = 4,5/1000 = 4,5*10^{-3}
  • 1.420.000 = 1,42*10^{6}

Além de ser uma forma mais sintética de escrever números grandes, sua principal utilidade é a de fornecer a ideia da ordem de grandeza de um número que, se fosse escrito por extenso, não daria essa informação de modo tão imediato. E sua maior aplicação é melhor representar grandezas de valores muito grandes (como na Astronomia, por exemplo) ou de valores muito pequenos (como na Química, por exemplo).
Exemplos:
a) A distância média da Terra até o Sol é de 149 milhões e 600 mil km:
149.600.000 km  = 1.496*\inline 10^{5} = 1,496*10^{3}*10^{5} = 1,496*\inline 10^{8} km

b) A circunferência da Terra no Equador é de aproximadamente 40 mil km:
40.000 km = 40*\inline 10^{3} = 4*10*\inline 10^{3} = 4*\inline 10^{4} km
c) A massa de um átomo de Oxigênio é de 2,7*10^{-23} g
d) A massa de um átomo de Hidrogênio é de 1,6*\inline 10^{-24} g

Tranquilo? Acompanhou o esse post sobre Potenciação? Espero que sim!
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