Resumo de matematica: Número Binomiais I

O que é um número binomial?

NÚMEROS BINOMIAIS

Definição

Dados dois números naturais $n$ e $p$ , com $0 \leq p \leq n$ , chama-se de número binomial $n$ sobre $p$ o número $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!\cdot (n-p)!}$

O número $\binom{n}{p}$ pode ser lido também da seguinte maneira:

número binomial de numerador $n$ e classe $p$ ;
número binomial de numerador $n$ e denominador $p$ .

Exemplos

a) $\binom{9}{5}=\frac{9!}{4!\cdot (9-5)!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 5!}=\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=126$

b) $\binom{10}{3}=\frac{10!}{3!\cdot (10-3)!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7!}{ 3\cdot 2\cdot 1\cdot 7!}=\frac{10\cdot 1\cdot 8}{3\cdot 2\cdot 1}=120$

ATENÇÃO – Resultados diretos

$\binom{n}{0}=1, \,\forall\, n\,\epsilon\, \mathbb{N}$ ,
$\binom{n}{1}=n, \,\forall\, n\,\epsilon\, \mathbb{N}^*$
$\binom{n}{n}=1, \,\forall\, n\,\epsilon\, \mathbb{N}$

Propriedades e Números binomiais complementares

Números binomiais complementares

Dados dois números binomiais de mesmo numerador $\binom{n}{p}$ e $\binom{n}{q}$ em que a soma dos numeradores (classes) é o numerador, ou seja, $p+q$ , são chamados de números binomiais complementares.

Exemplos

a) $\binom{10}{3}$ e $\binom{10}{7}$ são binomiais complementares, pois $3+7=10$ .

b) $\binom{7}{2}$ e $\binom{7}{5}$ são binomiais complementares, pois $2+5=7$ .

PROPRIEDADE

Dois números binomiais complementares são iguais, ou seja, $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ .

CONSEQUÊNCIA

$\binom{n}{p}=\binom{n}{q}\Rightarrow p=q\, \text{ou}\, p+q=n$

Exemplos

a) $\binom{15}{8}=\binom{15}{x}\Rightarrow 8=x\, \text{ou}\, 8+x=15\Leftrightarrow x=8\, \text{ou}\, x=7$

b) $\binom{10}{2x-1}=\binom{10}{3}\Rightarrow 2x-1=3\, \text{ou}\, 2x-1+3=10\Leftrightarrow 2x=4\, \text{ou}\, 2x+2=10 \Leftrightarrow x=2\, \text{ou}\, x=4$

Relação de Fermat

Dados dois números binomiais com denominadores (classes) consecutivos $\binom{n}{k}$ e $\binom{n}{k+1}$ , temos que n $\binom{n}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom{n}{k}$ .

Exemplos

a) $\binom{10}{6}=\frac{10-5}{5+1}\binom{10}{5}=\frac{5}{6}\binom{10}{5}$

b) $\binom{16}{10}=\frac{16-9}{9+1}\binom{16}{9}=\frac{7}{10}\binom{16}{9}$

Aplicações

01. Simplifique a expressão $\frac{\binom{18}{6}}{\binom{18}{13}}$ .

$\frac{\binom{18}{6}}{\binom{18}{13}}=\frac{\frac{18-5}{5+1}\binom{18}{5}}{\binom{18}{5}}=\frac{13}{6}$

02. Resolva a equação $\binom{x}{7}=4\binom{x}{6}$ .

$\frac{x-6}{6+1}\binom{x}{6}=4\binom{x}{6}$

$\frac{x-6}{7}=4$

$x-6=28\Leftrightarrow x=34$

Relação de Stifel

Dados dois números binomiais com o mesmo numerados e denominadores (classes) consecutivos $\binom{n}{k}$ e $\binom{n}{k+1}$ , temos que $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ .

Exemplos

a) $\binom{10}{6}+\binom{10}{7}=\binom{11}{7}$

b) $\binom{12}{3}+\binom{12}{4}=\binom{13}{4}$

Aplicações

01. Calcule o valor de $\binom{9}{3}+\binom{9}{4}+\binom{10}{5}+\binom{11}{6}$ .

$=\binom{9}{3}+\binom{9}{4}+\binom{10}{5}+\binom{11}{6}$
$=\binom{10}{4}+\binom{10}{5}+\binom{11}{6}$
$=\binom{11}{5}+\binom{11}{6}$
$=\binom{12}{6}$
$=\frac{12!}{6!(12-6)!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6!}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 6!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=792$

02. Resolva a equação $\binom{15}{4}+\binom{15}{5}=\binom{16}{x}$ .

$\binom{15}{4}+\binom{15}{5}=\binom{16}{x}$

$\binom{16}{5}=\binom{16}{x}\Leftrightarrow 5=x\, \text{ou}\,5+x=16\Leftrightarrow x=5\, \text{ou}\,x=11$