Resumo de matematica: Divisibilidade

Divisibilidade

Por: Aline Ribeiro

1. Divisão Euclidiana: A divisão euclidiana, de maneira genérica, é representada da seguinte forma:

Temos que ter um pouco de atenção com o resto, pois ele nunca pode ser negativo ou maior do que o módulo do divisor.

$\dpi{100} 0\leq r< \left | d \right |$

Já o dividendo pode ser definido como:

D = d.q + r

No caso em que o resto é zero, temos que a divisão é exata e o dividendo é um múltiplo do divisor.

r = 0, então D = d.q (divisão exata)

Exemplo 1: Em uma divisão, o divisor é 19 e o resto é 5. Determine o maior número que podemos adicionar ao dividendo sem alterar o quociente.

Para não alterar o quociente, temos que $0\leq r< \left | d \right |$ , como nosso divisor é 19, temos que o resto tem que ser menor do que 19, pois se ele for maior o

quociente será alterado. Então:

$0\leq r< \left 19$

Como já temos cinco unidades no nosso resto, chamaremos de x a quantidade que será adicionada ao quociente, desse modo:

$0\leq x + 5< \left 19$

5 + x < 19

x < 19 -5

x < 14

Com isso, o maior número que podemos adicionar ao dividendo é o 13.

Exemplo 2: Em uma divisão de números naturais, o resto é igual a 8 e é o maior possível. Determine o dividendo, sabendo que o quociente é 6.

Já sabemos que o quociente é 6 e o resto é 8. Como o resto é o maior possível, podemos concluir que o divisor é 9, para determinar o dividendo:

D = d.q + r

D = 9.6 + 8

D = 62

1.1. Números pares: Dizemos que um número é par quando ele é divisível por dois.

De maneira genérica, podemos representar os números pares como 2.n, em que n é um número inteiro.

Exemplo 1: Determine dois números pares consecutivos cuja soma seja 74.

A primeira coisa que devemos fazer é determinar, de maneira genérica, quais são esses números pares. O primeiro chamaremos

de 2.n e o seu consecutivo é 2.n + 2, pois os números pares distam duas unidades uns dos outros.

(2.n) + (2.n + 2) = 74

2.n + 2.n = 74 - 2

4.n = 72

n = 18

Então, os números pares consecutivos são:

2.n = 2 . 18 = 36

2.n + 2 = 2 . 18 + 2 = 38

1.2. Números ímpares: O número ímpar é aquele que quando dividido por dois deixa resto um, ou seja, é todo número que não é par.

De maneira genérica, podemos representar os números ímpares como 2.n + 1, em que n é um número inteiro.

Exemplo 1: Determine dois números ímpares consecutivos cuja soma seja 188.

A primeira coisa que devemos fazer é determinar, de maneira genérica, quais são esses números ímpares. O primeiro chamaremos

de 2.n + 1 e o seu consecutivo é 2.n + 3, pois os números ímpares distam duas unidades uns dos outros.

(2.n + 1) + (2.n +3) = 188

2.n + 2.n = 188 -1 - 3

4.n = 184

n = 46

Então, os números ímpares consecutivos são:

2.n + 1 = 2 . 46 + 1 = 93

2.n + 3 = 2 . 46 + 3 = 95

2. Divisibilidade: Dizemos que um número é divisível por outro, quando a divisão entre eles é exata.

É muito comum o uso da nomenclatura d|D, em que d e D são números, ela diz que d é um divisor de D, ou seja, d divide D.

Exemplo 1: Determine se 36 é divisível por 9. Nesse caso é bem tranquilo determinar, basta dividir 36 por 9:

36 : 9 = 4

Como a divisão é exata, temos que 36 é divisível por 9 e 9|36.

3. Critérios de divisibilidade: Iremos apresentar alguns critérios de divisibilidade, que auxiliarão na hora de fazer algumas contas.

3.1. Divisibilidade por 2: Um número é divisível por dois quando ele é par, ou seja, quando ele termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

Exemplo 1: Determine se 37 é divisível por 2.

Quando 37 é dividido por 2 deixa resto 1, então 37 é um número ímpar e não é divisível por 2.

Exemplo 2: Determine se 325.628 é divisível por 2.

Como esse número termina em 8, temos que ele é par. Então 325.628 é divisível por 2.

3.2. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por três quando a soma de seus algarismos é divisível por três.

Exemplo 1: Determine se 954 é divisível por 3. Temos:

9 + 5 + 4 = 18

Como 18 é divisível por 3, então 954 é divisível por 3.

Exemplo 2: Determine se 7859 é divisível por 3. Temos:

7 + 8 + 5 +9 = 29

Como 29 não é divisível por 3, então 7859 não é divisível por 3.

3.3. Divisibilidade por 4: Um número é divisível por quatro quando seus dois últimos algarismos é divisível por quatro.

Exemplo 1: Determine se 558456 é divisível por 4.

Para determinar se é divisível por 4 basta analisar os dois últimos número. Como 56 é divisível por 4, então 558456 é divisível por 4.

Exemplo 2: Determine se 458714 é divisível por 4.

Como 14 não é divisível por 4, então 458714 não é divisível por 4.

3.4. Divisibilidade por 5: Um número é divisível por cinco quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplo 1: Determine se 9584 é divisível por 5.

Como esse número não termina em 0 ou 5, então 9584 não é divisível por 5.

Exemplo 2: Determine se 8880 é divisível por 5.

Como esse número termina em 0, então 8880 é divisível por 5.

3.5. Divisibilidade por 6: Um número é divisível por seis quando ele é divisível por dois e por três.

Exemplo 1: Determine se 722 é divisível por 6.

Para ser divisível por 6 é necessário ser divisível por 2 e por 3. Como 722 é par, temos que ele é divisível por 2. Agora só falta verificar por 3.

7 + 2 + 2 = 11

Como 11 não é divisível por 3, então 722 também não é. Com isso, 722 não é divisível por 6.

Exemplo 2: Determine se 726 é divisível por 6. Como 726 é par, então 726 é divisível por 2. Temos que:

7 + 2 + 6 = 15

Como 15 é divisível por 3, então 726 também é divisível por 3. Por isso, 726 é divisível por 6.

3.6. Divisibilidade por 7: Um número é divisível por sete quando a diferença entre o dobro do seu último algarismo e o algarismo restante é divisível por onze.

Suponha o número ABC, para verificar a divisibilidade por sete basta fazer:

2.C - A.B

Se o resultado for divisível por sete, então o número será divisível por sete.

Exemplo 1: Determine se 567 é divisível por 7. Para isso faremos:

2.7 - 56 = 14 - 56 = - 42

Como - 42 é divisível por 7, então 567 também é.

Exemplo 2: Determine se 8564 é divisível por 7. Para isso faremos:

2.4 - 856 = 8 - 856 = 848

2.8 - 84 = 68

Como 68 não é divisível por 7, então 848 também não é. Como 848 não é divisível por 7, então 8564 não é divisível por 7.

3.7. Divisibilidade por 8: Um número é divisível por oito quando seus três últimos algarismos é divisível por oito.

Exemplo 1: Determine se 1800 é divisível por 8.

Como 800 é divisível por 8, então 1800 também é.

Exemplo 2: Determine se 2481 é divisível por 8.

Como 481 não é divisível por 8, então 2481 também não é.

3.8. Divisibilidade por 9: Um número é divisível por nove quando a soma de seus algarismos é divisível por nove.

Exemplo 1: Determine se 1528 é divisível por 9. Para isso faremos:

1 + 5 + 2+ 8 = 16

Como 16 não é divisível por 3, então 1528 também não é.

Exemplo 2: Determine se 45981 é divisível por 9. Para isso faremos:

4 + 5 + 9 + 8 + 1 = 27

Como 27 é divisível por 9, então 45981 também é.

3.9. Divisibilidade por 10: Um número é divisível por dez quando termina em zero.

Exemplo 1: Determine se 452 é divisível por 10.

Como esse número não termina em 0, então ele não é divisível por 10.

Exemplo 2: Determine se 8.547.592.816.540 é divisível por 10.

Como esse número termina em 0, então ele é divisível por 10.

3.10. Divisibilidade por 11: Um número é divisível por onze quando a diferença da soma dos seus algarismos alternados é divisível por onze.

Exemplo 1: Determine se 77 é divisível por 11. Então:

7 - 7 = 0

Como 0 é divisível por 11, então 77 também é.

Exemplo 2: Determine se 793 é divisível por 11. Então:

(7+3) - 9 = 10 - 9 = 1

Como 1 não é divisível por 11, então 793 também não é.

Exemplo 3: Determine se 5060 é divisível por 11. Então:

(5+6) - (0+0) = 11 - 0 = 11

Como 11 é divisível por 11, então 5060 também é.