Resumo de matematica: Teoria dos Conjuntos - Introdução



1. Introdução 

Analise a situação problema sugerida a seguir:

Em uma pesquisa realizada com 500 estudantes de um curso para saber qual universidade eles gostariam de cursar entre A, B e C, o resultado foi o seguinte: 350 na universidade A, 290, em B, 260, em C, 220, em A e B, 200, em A e C, 160, em B e C, e 100, em nenhuma delas.

  • Quantos estudantes desejam cursar somente na universidade A?
  • Quantos estudantes desejam cursar na universidade A ou B e não em B?
  • Quantos estudantes não cursarão em B?

Essas e outras perguntas podem ser respondidas através de estudos sobre CONJUNTOS

 

2. A ideia de conjunto

Na matemática, não temos a definição formal de conjunto, mas uma ideia.
Qualquer coleção de objetos, pessoas, cidades, atividades, entre outros pode apresentar uma noção de conjunto. 

Exemplos

a) conjunto A dos múltiplos positivos de 5:

A = {5; 10; 15; 20; 25; 30; ...}

b) conjunto B dos estados da região nordeste:

B = {BA; SE; AL; PE; PB; RN; CE; PI; MA}

Um conjunto é formado por elementos.

 

Quando um elemento x qualquer fizer parte de um conjunto A diremos que x pertence a A e escreveremos x \small \in A. Caso contrário, x não pertence a A e escrevemos x \small \notin A.

 

Exemplos 
Nos exemplos anteriores, temos:

  • 30 \small \in A e 21 \small \notin A.
  • Sergipe pertence à B e Minas Gerais não pertence à B.
     

3. Representação de um conjunto

Seja A o conjunto formado pelos elementos: a, e, i, o e u. Podemos representar A de três maneiras:
 

a) Listagem ou enumeração dos seus elementos.

A = {a, e, i, o, u}
 

b) Por meio de uma propriedade comum aos seus elementos.

A = {x | x é uma vogal do alfabeto brasileiro}
 

c) Por meio do Diagrama de Venn.

Os Diagramas de Venn possuem essa nomenclatura, em homenagem ao lógico inglês John Venn (1834 – 1923) que, em 1894, usou diagramas em sua obra Lógica simbólica.

ATENÇÃO___________________________________________________________________

Sendo A um conjunto finito, indicamos por n(A) o número de elementos desse conjunto. 

Exemplo 

Se A = {a, e, i, o, u}, então n(A) = 5.

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4. Conjuntos Especiais 

a) Todo conjunto que possui um único elemento será denominado conjunto unitário. Por exemplo, seja B = {x | x é o único metal líquido à temperatura ambiente}. Então, temos B = {mercúrio} e n(B) = 1.

b) O conjunto que não possui nenhum elemento é denominado conjunto vazio. Por exemplo, seja     C = {x | x é o número positivo, x + 2 = 0}. Então, temos C = {    } ou C =  .

c) O conjunto Universo é o maior conjunto envolvido na análise. Por exemplo, seja A = {x | x é natural e x2 + 2x = 0}. Então, apesar do x = 0 ou x = - 2, o conjunto será A = {0}.
 

5. Igualdade entre conjuntos 

Dois conjuntos são ditos iguais quando possuem os mesmos elementos. 

Por exemplo, se A = {números divisores positivos de 10} e B = {1; 2; 5; 10}, então A = B.

Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A ≠ B.