Resumo de matematica: Teoria dos Conjuntos - Introdução

1. Introdução

Analise a situação problema sugerida a seguir:

Em uma pesquisa realizada com 500 estudantes de um curso para saber qual universidade eles gostariam de cursar entre A, B e C, o resultado foi o seguinte: 350 na universidade A, 290, em B, 260, em C, 220, em A e B, 200, em A e C, 160, em B e C, e 100, em nenhuma delas.

Quantos estudantes desejam cursar somente na universidade A?
Quantos estudantes desejam cursar na universidade A ou B e não em B?
Quantos estudantes não cursarão em B?

Essas e outras perguntas podem ser respondidas através de estudos sobre CONJUNTOS.

2. A ideia de conjunto

Na matemática, não temos a definição formal de conjunto, mas uma ideia.
Qualquer coleção de objetos, pessoas, cidades, atividades, entre outros pode apresentar uma noção de conjunto.

Exemplos

a) conjunto A dos múltiplos positivos de 5:

A = {5; 10; 15; 20; 25; 30; ...}

b) conjunto B dos estados da região nordeste:

B = {BA; SE; AL; PE; PB; RN; CE; PI; MA}

Um conjunto é formado por elementos.

Quando um elemento x qualquer fizer parte de um conjunto A diremos que x pertence a A e escreveremos x $\small \in$ A. Caso contrário, x não pertence a A e escrevemos x $\small \notin$ A.

Exemplos
Nos exemplos anteriores, temos:

30 $\small \in$ A e 21 $\small \notin$ A.
Sergipe pertence à B e Minas Gerais não pertence à B.

3. Representação de um conjunto

Seja A o conjunto formado pelos elementos: a, e, i, o e u. Podemos representar A de três maneiras:

a) Listagem ou enumeração dos seus elementos.

A = {a, e, i, o, u}

b) Por meio de uma propriedade comum aos seus elementos.

A = {x | x é uma vogal do alfabeto brasileiro}

c) Por meio do Diagrama de Venn.

Os Diagramas de Venn possuem essa nomenclatura, em homenagem ao lógico inglês John Venn (1834 – 1923) que, em 1894, usou diagramas em sua obra Lógica simbólica.

Visto as representações dos conjuntos, também temos que ressaltar algumas características dessas representações:

i) A repetição de um mesmo elemento dentro de um conjunto não faz com que esse conjunto seja diferente de outro que tenha os mesmos elementos porém sem repetição, exemplo:

Sejam os conjuntos $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{1,2,2,2,2,3\}$ , apesar do conjunto B ter o elemento "2" repetido várias vezes nós podemos afirmar que os conjunto A e B são iguais entre si por que seus elementos são os mesmos, $A=B$

ii) A ordem dos elementos dentro de um conjunto não torna dois conjuntos diferentes entre si, exemplo:

. Sejam os conjuntos $C=\{4,5,6\}$ e $D=\{6,4,5\}$ , apesar da ordem dos elementos dentro dos conjuntos não ser a mesma, podemos afirmar que $C=D$

ATENÇÃO___________________________________________________________________

Sendo A um conjunto finito, indicamos por n(A) o número de elementos desse conjunto.

Exemplo

Se A = {a, e, i, o, u}, então n(A) = 5.

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4. Conjuntos Especiais

a) Todo conjunto que possui um único elemento será denominado conjunto unitário. Por exemplo, seja B = {x | x é o único metal líquido à temperatura ambiente}. Então, temos B = {mercúrio} e n(B) = 1.

b) O conjunto que não possui nenhum elemento é denominado conjunto vazio. Por exemplo, seja C = {x | x é o número positivo, x + 2 = 0}. Então, temos C = { } ou C = .

c) O conjunto Universo é o maior conjunto envolvido na análise. Por exemplo, seja A = {x | x é natural e x² + 2x = 0}. Então, apesar do x = 0 ou x = - 2, o conjunto será A = {0}.

5. Igualdade entre conjuntos

Dois conjuntos são ditos iguais quando possuem os mesmos elementos.

Por exemplo, se A = {números divisores positivos de 10} e B = {1; 2; 5; 10}, então A = B.

Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A ≠ B.