Resumo de matematica: Teoria dos Conjuntos
Noção intuitiva da teoria dos conjuntos
É a parte da matemática responsável por estudar coleções de elementos, grupos, classes, categorias, etc. As notações e maneiras de interpretar um problema pelo olhar da teoria dos conjuntos podem facilitar e muito sua resolução.
Conceitos primitivos
Para iniciar o estudo da teoria dos conjuntos faz-se necessário definir 4 conceitos que permeiam esse assunto.
O primeiro é o conceito de conjunto. Conjunto, de forma simplificada, é o ente matemático que pode conter nenhum, 1 ou infinitos elementos. Por exemplo, digamos que existe o conjunto “E”, que contém os estados do Brasil. Então, dizemos que São Paulo, Rio de Janeiro e Minas Gerais são elementos do conjunto E. Ou seja, chamamos de elemento, os membros de um determinado conjunto dado. Outro conceito importante é a relação de pertinência. Se “c” é um membro (ou elemento) de um conjunto A nós escrevemos:
(leia-se “c pertence à A”)
Por fim, outro conceito importante é a relação de continência ou inclusão. Se todos os elementos de um conjunto A também são elementos do conjunto B, então A é um subconjunto de B, denotado por:
(leia-se “A está contido em B”)
Duas observações importantes a serem feitas são as de que, partindo desta definição, fica claro que todo conjunto é subconjunto de si próprio e o que o conjunto vazio (aquele que não contém nenhum elemento) é subconjunto de todos os conjuntos.
Notações importantes
Podemos definir um conjunto de várias formas e com elas surgem algumas notações que devemos saber. Por exemplo: descrição elemento a elemento, através de uma lei que todos os elementos do conjunto devem obedecer.
A descrição elemento a elemento se faz da seguinte forma:
Observa-se que o nome do conjunto, ou seja, “A”, é representado sempre por letras maiúsculas. Seus elementos são listados um a um e a notação usada é o sinal de “{}” (chaves).
A forma de definir um conjunto por uma lei se dá da seguinte forma:
Dessa forma, lemos “ os elementos do conjunto B são números quaisquer “x” tais que esses “x” sejam pares”. Vale notar que o conjunto B, diferente do conjunto A citado acima, é infinito.
Para representar B, elemento a elemento, faríamos da seguinte forma:
As reticências indicam que o conjunto é infinito.
A outra, e talvez mais usada, maneira de representar um conjunto se dá através de um diagrama:
Operações entre conjuntos
Assim como entre números, podemos realizar algumas operações entre conjuntos, tais como a união, a intersecção e a diferença. A união dos conjuntos A e B, por exemplo, denotada por
é o conjunto de todos os elementos que são membros de A, ou B, ou ambos. A união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4}.
Já a interseção dos conjuntos A e B, denotada por
é o conjunto de todos os elementos que são membros de ambos A e B, ao mesmo tempo. A interseção de{1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3}.
Uma maneira simples de entender a diferença entre conjuntos é interpretar da seguinte forma:
é a diferença entre os conjuntos A e B, leia-se “tudo que está em A e que não está em B”. Por exemplo, se
e
então:
que é um conjunto unitário (aquele que contém somente 1 elemento).
No exemplo, o conjunto representado é o conjunto N e seus elementos estão descritos, um a um, no interior do desenho.
Conjuntos numéricos
Os conjuntos numéricos que conhecemos (números naturais, inteiros e racionais), podem simplificados através da notação de diagramas dos conjuntos:
Sendo N o conjunto dos naturais, Z o conjunto dos inteiros, Q o conjunto dos racionais, I o dos irracionais e R o conjunto dos números reais. Essa notação é bastante vantajosa pois elucida algumas observações. Por exemplo: todos os números naturais são também números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Podemos chegar a essa conclusão observando que o conjunto N está contido no conjunto Z, mas Z não está contido em N.
Apresentando o diagrama de Venn
Foram criados pelo matemático inglês John Venn no intuito de facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos. Eles possuem um papel fundamental na organização de dados obtidos em pesquisas, principalmente nas situações em que o entrevistado opta por duas ou mais opções. Na sua forma mais convencional, o diagrama de Venn representa 3 conjuntos, A, B e C, por exemplo, além de representar suas intersecções 2 a 2 e a intersecção tripla (dos 3 conjuntos).
Para exemplificar o que foi dito, tomemos algumas regiões deste diagrama. A área roxa representa exatamente
enquanto a região verde representa
e assim por diante. No centro do diagrama observa-se a intersecção tripla:
Assim nós encerramos nosso resumo teórico sobre a teoria dos conjuntos