Resumo de matematica: Função Exponencial



Comportamento gráfico e Propriedades

Chama-se de função exponencial qualquer função f de \mathbb{R} em \mathbb{R} dada por uma lei da forma f(x)=b^x, em que a é um número real, 0<b\neq 1. Podemos analisar a função exponencial segundo dois casos: 

  • 1° caso: b>1

Ex: y = 2^x 

 

  • 2° caso: 0<b<1

Ex: y=\left ( \frac{1}{2} \right )^x
     

É importante perceber as seguintes características sobre a função exponencial: 

I) D=\mathbb{R}Im = R^*_+;
II) Para b>1 a função é crescente;
III) Para a 0<b<1 a função é decrescente;
IV) O gráfico não intercepta o eixo das abscissas. Esse eixo é chamado de assíntota do gráfico da função exponencial.
 

Equação Exponencial (Redução à mesma base)

    

As equações que se apresentam com a incógnita no expoente, com bases positivas e diferentes de 1, são chamadas de equações exponenciais.

Exemplos

a) 3^{x-2}=81

b) 25^x-6\cdot 5^x+5=0 

Em geral, para resolver uma equação exponencial, igualam-se as bases das potências dos dois membros e comparam-se os seus expoentes, ou seja:

a^x=a^y\Rightarrow x=y\, \text{com}\, 0<a\neq 1

Exemplos:

a) (2^x)^{x-1}=4

2^{x^2-x}=2^2
x^2-x=2
x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow x = - 1\, \text {ou}\, x = 2


b) 3^{2x-1}\cdot9^{3x+4} =27^{x+1}

3^{2x-1}\cdot (3^2)^{3x+4}=(3^3)^{x+1}
3^{2x-1}\cdot 3^{6x+8}=3^{3x+3}
3^{8x+7}=3^{3x+3}
8x+7=3x+3
5x=-4
x=-\frac{4}{5}
 

Equação Exponencial (Uso de artifícios)

As equações que se apresentam com a incógnita no expoente, com bases positivas e diferentes de 1, são chamadas de equações exponenciais.

Exemplos

a) 3^{x-2}=81

b) 25^x-6\cdot 5^{x}+5=0 

Algumas equações exponenciais, será necessário fazer algumas transformações e usar artifícios. Um desses artifícios é a substituição de uma parte da equação por uma incógnita auxiliar.

Exemplos:a) 3^{x-1}-3^x+3^{x+1}+3^{x+2}=306

\frac{3^{x}}{3}-3^x+3^{x}\cdot 3+3^{x}\cdot 3^2=306

Substituindo 3^x=t na equação exponencial, temos:

\frac{t}{3}-t+t\cdot 3+t\cdot 9=306

\frac{t}{3}+11t=306
t+33t=918
34t=918
t=27

Voltando a igualdade 3^x=t, obtemos: 3^x=27\Rightarrow x=3

b) 4^x-2^x=56

(2^2)^x-2^x=56
(2^x)^2-2^x=56

Substituindo 2^x=t na equação exponencial, temos:

t^2-t=56
t^2-t-56=0\Rightarrow t=-7\, \text{ou}\, t=8

Voltando a igualdade 2^x=t, obtemos: 

2^x=-7\Rightarrow Não convém

2^x=8\Rightarrow x=3


Inequação Exponencial

Inequação exponencial é uma desigualdade que apresenta a incógnita no expoente de pelo menos uma potência.

Exemplos:

a) \left ( \frac{1}{5} \right )^{x-3}<25

b) 4^x-2^x\geq 3

Podemos analisar a função exponencial segundo dois casos: 

  • 1° caso: a>1

a^{x_2}>a^{x_1}\Rightarrow x_2>x_1

  • 2° caso: 0<a<1

a^{x_2}>a^{x_1}\Rightarrow x_2<x_1

Exemplos

a) (0,42)^{1-2x}\geq 1

(0,42)^{1-2x}\geq (0,42)^0
1-2x\leq 0
-2x\leq -1
2x\geq 1
x\geq \frac{1}{2}\Rightarrow S=\left \{ x\, \epsilon \,\mathbb{R} | \, x\geq \frac{1}{2} \right \}


b) \left ( \sqrt[5]{25} \right )^x<\frac{1}{\sqrt[4]{125}}

\left ( 5^2 \right )^{\frac{x}{5}}<\frac{1}{\left ( 5^3 \right )^{\frac{1}{4}}

\left ( 5 \right )^{\frac{2x}{5}}<\frac{1}{\left ( 5 \right )^{\frac{3}{4}}

\left ( 5 \right )^{\frac{2x}{5}}<\left ( 5 \right )^{-\frac{3}{4}

\frac{2x}{5}<-\frac{3}{4}

x<-\frac{15}{8}\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R} |\, x<-\frac{15}{8} \right \}
 

Aplicações

DICA 1: Nas equações em que a variável aparece na base da equação, é obrigatório testar os números -1, 0 e 1.

Exemplo:

x^{x^2-5x+6}=1

Devemos examinar inicialmente se -1, 0 ou 1 são soluções da equação. 

Substituindo x=-1 na equação proposta, temos: (-1)^{12}=1 (verdadeiro) 

Logo, -1 é solução. 

Substituindo x=0 na equação proposta, temos: 0^6=1 (falso)

Logo, 0 não é solução. 

Substituindo x=1 na equação, temos: 1^2=1 (verdadeiro)

Logo, 1 é solução da equação. 

Supondo agora 0<x\neq 1, temos: x^{x^2-5x+6}=1\Rightarrow x^2-5x+6=0\Rightarrow x=2\, \text{ou}\, x=3. Os valores x=2 ou x=3 são soluções, pois satisfazem a condição 0<x\neq 1

S=\left \{ -1;1;2;3 \right \}

DICA 2: Nos sistemas de equações exponenciais é necessário a retirada das bases utilizando as propriedades de potências e também a igualdade b^x=b^y\Rightarrow x=y, com 0<x\neq 1.

DICA 3: Para as questões de gráficos onde são fornecidos alguns pontos, deve-se substituir os pontos na equação da função dada pela questão para a construção do sistema.

DICA 4: Na resolução das inequações exponenciais, se faz necessário o uso das propriedades:

  • 1° caso: a>1\Rightarrow a^{x_2}>a^{x_1}\Rightarrow x_2>x_1
  • 2° caso: a<1\Rightarrow a^{x_2}>a^{x_1}\Rightarrow x_2<x_1