Resumo de matematica: Função Logarítmica



EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 

As equações que apresentam a incógnita envolvida com logaritmos são chamadas de equações logarítmicas. Podemos classificar as equações logarítmicas em dois tipos:

1º tipo: log_bf(x)=log_bg(x)

log_bf(x)=log_bg(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)


2º tipo: log_bf(x)=a

log_bf(x)=a\Leftrightarrow f(x)=b^a


OBSERVAÇÃO 
É obrigatório verificar se os valores encontrados serão validados pela condição de existência dos logaritmos na equação original.

Exemplos

Resolva as equações a seguir:

a) log\,(2x-1)=log(x+7)

2x-1=x+7
2x+x=7+1
x=8

Verificando

2x-1=2\cdot 8-1=15>0

x+7=8+7=15>0
 

Portanto, S={8}.

b) log_x(3-2x)=2

x^2=3-2x
x^2+2x-3=0\,x=1\,\text{ou}\,x=-3

Verificando

1 e -3 não validam a base, pois a mesma deve ser diferente de 1 e maior que 0.

Portanto, S=\left \{ \,\,\,\,\, \right \}.
 

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 

As propriedades logarítmicas foram desenvolvidas com o intuito de tornar os cálculos envolvendo logaritmos mais fáceis. 

Nome Regra Simbólica
Logaritmo de um produto O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, tomados na mesma base; log_b\,(a\cdot c)=log_b\,a+log_b\,c
Logaritmo de quociente O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor, tomados na mesma base; log_b\,(a/c)=log_b\,a-log_b\,c
Logaritmo de uma potência O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. log_b\,(a^n)=n\cdot log_b\,a


OBSERVAÇÃO 

É obrigatório verificar se os valores encontrados serão validados pela condição de existência dos logaritmos na equação original.

Exemplos

Resolva as equações a seguir:

a) log_3\,(x+2)-log_{1/3}\,(x-6)=log_3\,(2x-5) 

log_3\,(x+2)-(-1)log_{3}\,(x-6)=log_3\,(2x-5) 
log_3\,(x+2)+log_{3}\,(x-6)=log_3\,(2x-5)
log_3\,\left [(x+2)\cdot (x-6) \right ]=log_3\,(2x-5)
log_3\,\left [x^2-4x-12 \right ]=log_3\,(2x-5)
x^2-4x-12= 2x-5
x^2-6x-7= 0\,x=7\,\,\text{ou}\,x=-1

Verificando

x+2=7+2=9>0 \,\,(V)
x+2=-1+2=1>0 \,\,(V)

x-6=7-6=1>0 \,\,(V)
x-6=-1-2=-3>0 \,\,(F)

2x-5=2\cdot 7-5=7>0\,\,(V)
2x-5=2\cdot (-1)-5=-7>0\,\,(F)

Portanto, S=\left \{ 7 \right \}.

b) log_2^2\,x-9\cdot log_8\,x-4=0

log_2^2\,x-9\cdot log_{2^3}\,x-4=0
log_2^2\,x-3\cdot log_{2}\,x-4=0

Fazendo log_2\,x=t, temos:
 
t^2=3\cdot t-4=0\Rightarrow t=4\,\text{ou}\,t=-1, mas log_2\,x=t, então:

log_2\,x=4\Rightarrow x=2^4=16

log_2\,x=-1\Rightarrow x=2^{-1}=\frac{1}{2}

Portanto, S=\left \{ 16,\frac{1}{2} \right \}.
 

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

Inequação logarítmica é uma desigualdade que apresenta a incógnita no logaritmando de, pelo menos, um logaritmo.

1º caso: a>1

log_a\,x_2>log_a\,x_1\Rightarrow x_2>x_1


2º caso: 0<a<1

log_a\,x_2<log_a\,x_1\Rightarrow x_2>x_1

Exemplos


Resolva as inequações a seguir:

a) log_2 \, (2x-1)<log_2\,6

P1: Análise de bases: ok

P2: Condição de existência: 2x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{2}

P3: Resolução: 2x-1<6\Rightarrow x>\frac{7}{2}

P4: Solução: S=\left \{ x\,\epsilon\,\mathbb{R}; \frac{1}{2}<x<\frac{7}{2} \right \} 

 

b) log_{1/2}(x-4)<-1 

P1: Análise de bases: log_{1/2}\,(x-4)\geq -1\cdot log_{1/2}\,\frac{1}{2}\Leftrightarrow log_{1/2}\,(x-4)\geq log_{1/2}\,2

P2: Condição de existência: x-4>0\Rightarrow x>4

P3: Resolução: x-4\leq 2\Rightarrow x\leq 6

P4: Solução: Solução: S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R}; 4<x<6 \right \}

 

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

Tipo Propriedade Regra

1º caso: a>1

log_a\,x_2>log_a\,x_1\Rightarrow x_2>x_1 Conserva o sentido da desigualdade.
2º caso: 0<a<1 log_a\,x_2<log_a\,x_1\Rightarrow x_2>x_1 Inverte o sentido da desigualdade.

Exemplos

Exemplos

1. Resolva a inequação o log_2 (x - 3) + log_2 (x- 2)\leq 1.

P1: Análise de bases: log_2 (x - 3) + log_2 (x - 2) \leq log_2 2

P2: Condição de existência: x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \, \text {e }\,x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2

P3: Resolução: log_2 [(x - 3)\cdot (x - 2)] \leq log_2 \,2\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 \leq 0\Leftrightarrow 1 \leq x \leq 4

P4: Solução: S=\left \{x\,\epsilon \,\mathbb{R}; 3<x\leq 4 \right \}


2. Resolva a inequação o log_{1/3}\,(x^2-4x)>log_{1/3}\,5.

P1: Análise de bases: ok

P2: Condição de existência: x^2 - 4x > 0 \Rightarrow x < 0\,\text{ ou }x > 4

P3: Resolução: log_{1/3}\,(x^2-4x)>log_{1/3}5\Leftrightarrow x^2-4x<5\Leftrightarrow x^2-4x-5<0\Rightarrow -1<x<5

P4: Solução: S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R}; -1<x<0 \,\text{ou}\,4<x<5 \right \} 

 

LOGARITMO DECIMAL

O logaritmo cuja base seja 10 é denominado logaritmo decimal, e indicamos esse valor por log_{10 }\,N ou simplesmente log\,N (a base 10 pode ser omitida).

Exemplos:
a) O valor log_{10 }\,10 000 pode ser simplesmente representado por log\,10 000.
Para resolver, seguimos a definição:

log\,10 000=a\Rightarrow 10^a=10 000\Rightarrow 10^a=10^4\Rightarrow a=4 

Conclui-se que log\,10 000=4.


b) O valor log_{10 }\,0,001 pode ser simplesmente representado por log\,0,001.
Para resolver, seguimos a definição:

log\, 0,001 = a \Leftrightarrow 10^a = 0,001 \Leftrightarrow 10^a = 10^{-3} \Rightarrow a = - 3

Conclui-se que log\, 0,001 = - 3.

Característica e Mantissa

Qualquer que seja o número real positivo x que consideremos, ele estará necessariamente compreendido entre duas potências de 10 com expoentes inteiros consecutivos. 

Exemplos:

a) x = 0,02 \Rightarrow 10^{-2 }< 0,02 < 10 ^{-1} 

b) x = 0,65 \Rightarrow 10^{-1}< 0,02 < 10 ^{0}

c) x = 2,73 \Rightarrow 10^{0}< 0,02 < 10 ^{1}

d) x = 41,7 \Rightarrow 10^{1}< 0,02 < 10 ^{2}

Assim, dado x>0, existe c\,\epsilon\, \mathbb{Z} tal que:

10 ^c < x < 10^ {c + 1} \Rightarrow log \,10^ c < log x < log\, 10^{ c + 1 }\Rightarrow 1c < log\, x < c + 1

Concluindo que:

log \,x = c + m,\,\text{ em que }c\,\epsilon \, Z\, \text{ e }0 \leq m < 1

O número inteiro c é por definição a característica do logaritmo de x, e o número decimal m (0 \leq m < 1) é por definição a mantissa do logaritmo decimal de x.

Determinação da característica 

1º caso (x > 1)
A característica do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao número de algarismos de sua parte inteira menos 1.

Exemplos

a) log\, 5,7\Rightarrow c = 1- 1 = 0
b) log \,57,902 \Rightarrow c = 2 - 1 = 1 
c) log\, 457 \Rightarrow c = 3 - 1 = 2
d) log\, 5864,3 \Rightarrow c = 4 - 1 = 3

2º caso (0 < x < 1) 
A característica do logaritmo decimal de um número 0 < x < 1 é o oposto da quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo.

Exemplos

a) log \,0,8\Rightarrow c = - 1
b) log\, 0,054 \Rightarrow c = - 2   
c) log \,0,0098 \Rightarrow c = - 3 

Mantissa 

A mantissa é obtida nas tábuas (tabelas) de logaritmos pode ser encontrada facilmente numa pesquisa na internet.

Atenção 
Ao procurarmos a mantissa do logaritmo decimal de x, devemos lembrar a seguinte propriedade.

“A mantissa do logaritmo decimal de x não se altera se multiplicarmos x por uma potência de 10 com expoente inteiro.”

Assim, como consequência imediata, pode-se garantir que os números que diferem apenas pela posição da vírgula possuem a mesma mantissa. Por exemplo, os números 300; 0,3; 3000; 0,03; 3 possuem a mesma mantissa que é 0,4771, mas suas características são respectivamente, 2, – 1, 3, – 2 e 0.