Resumo de matematica: Potências



Potenciação

Por: Aline Ribeiro

 

1. O que é potenciação: A potenciação é uma sucessão de multiplicações que pode ser escrita de maneira mais concisa.

 

1.1. Definição 1: Sejam a\ \epsilon \ \mathbb{R}, \ n\ \epsilon \mathbb\ {N}^{*} e \ n>1. A potência a^{n} é definida como o produto de n fatores iguais a a, ou seja, 

a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdot \cdot \cdot \;\cdot a}

           n\;vezes

 

O número a é chamado é chamado de base e n expoente da potência a^{n}.

 

(Base \ -\ Numero\ que \ se \ repete)^{}\ a^{n\ (Expoente\ -\ Quantidade \ de \ vezes \ que \ a \ base \ repete)}

 


Exemplo 1: Calcule o valor de 3^{4}. Nessa potência temos 3 como base e 4 como expoente. Então devemos multiplicar a base por ela mesmo 4 vezes. 
3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=243

 

Exemplo 2: Calcule o valor de 2^{8}. Nessa potência temos 2 como base e 8 como expoente. Então devemos multiplicar a base por ela mesmo 8 vezes.

2^{8}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=256

 

1.2. Definição 2: O resultado de toda potência com expoente igual a 1 é a própria base.

a^{1} = a

 

Exemplo 1: Calcule o valor de 98473628^{1}. Nessa potência temos 98473628 como base e 1 como expoente. Então devemos multiplicar a base

por ela mesmo 1 vez.

98473628^{1} =98473628

 

Observação: a^{b}\neq b^{a}

2^{3}\neq 3^{2}

2\cdot 2\cdot 2\neq 3\cdot 3

8\neq 9

 

2. Propriedade Fundamental: Sejam n,\ m\ \epsilon \ \mathbb{N}^{*} e a\ \epsilon \ \mathbb{R}.

   a^{n}\cdot a^{m}=\left (\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdot \cdot \cdot \;\cdot a} \right )\cdot \left (\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdot \cdot \cdot \;\cdot a} \right )                

        n\ vezes\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m\ vezes

Ao todo temos n+m fatores, por isso:

a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}

No produto de potências de mesma base, mantém a base e soma os expoentes.

 

Exemplo 1: Calcule o valor de 3^{2}\cdot 3^{4}. Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e somar os expoentes.

3^{2}\cdot 3^{4}=3^{2+4}=3^{6}=729

 

Exemplo 2: Calcule o valor de x^{21}\cdot x^{14}. Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e somar os expoentes.

x^{21}\cdot x^{14}=x^{21+14}=x^{35}

 

3. Definindo potências com expoentes não positivos \left ( n\leq 0 \right ):

 

3.1. Definição 3: Para n = 0 (expoente nulo) e a\neq 0, iremos utilizar a propriedade 1:

m=0\rightarrow a^{n}\cdot a^{0}=a^{n+0}=a^{n}

a^{n}\cdot a^{0}=a^{n}

a^{0}=\frac{a^{n}}{a^{n}}=1

 

Com isso, podemos definir que qualquer número elevado a zero é um.

a^{0}=1

 

Exemplo 1: Calcule o valor de 787654356 ^{0}. Como o expoente é zero, podemos simplesmente:

787654356 ^{0}=1  

 

Exemplo 2: Calcule o valor de abcde^{0}. Como o expoente é zero, podemos simplesmente:

abcde^{0}=1

 

3.2. Definição 4: Para n< 0 \; e\;a\neq 0, utilizaremos novamente a propriedade 1.

m=-n\rightarrow a^{n}\cdot a^{-n}=a^{0}

a^{n}\cdot a^{-n}=a^{0}= 1

a^{-n}= \frac{1}{a^{n}}

Desse modo, definimos a^{-n} como sendo o inverso de a^{n}.

 

Exemplo 1: Calcule o valor de 2^{-2}. Essa potência será o inverso de 2^{2}. Então:

2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}

 

Exemplo 2: Calcule o valor de \left (\frac{1}{7} \right )^{-1}. Essa potência será o inverso de \left (\frac{1}{7} \right )^{1}.Então:

\left (\frac{1}{7} \right )^{-1}= \frac{7}{1}=7

 

Observação: Quando a base da potência é negativa todas as definições e propriedades são válidas, só é necessário

atentar ao sinal. Observe:

(-3)^{4}=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)

(-3)^{4}=9\cdot 9=81

 

(-3)^{5}=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)

(-3)^{5}=9\cdot 9\cdot(-3)

(-3)^{5}=81\cdot(-3) = -243

Com isso, para a<0 e a^{n} com n\:\epsilon\: \mathbb{N}^{*}, a potência terá resultado positivo se n for par e resultado negativo se n for ímpar. 

 

4. Propriedades gerais:

 

4.1. Divisão de potências de mesma base: Sejam n,\;m\;\epsilon \;\mathbb{N} e a\;\epsilon \;\mathbb{R}^{*}.

\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n}\cdot a^{-m}=a^{n+(-m)}

 

Desse modo, 

\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}

No quociente de duas potências de mesma base, mantém a base e subtrai os expoentes.

 

Exemplo 1: Calcule o valor de \frac{3^{4}}{3^{2}}. Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e subtrair os expoentes.

\frac{3^{4}}{3^{2}}=3^{4-2}=3^{2}=3\cdot 3=9

 

Exemplo 2: Calcule o valor de \frac{x^{14}}{x^{21}}. Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e subtrair os expoentes.

\frac{x^{14}}{x^{21}}=x^{14-21}=x^{-7}=\frac{1}{x^{7}}

 

4.2. Potência de potência: Sejam n,\;m\;\epsilon \mathbb\;{N}e a\;\epsilon \mathbb\;{R}.

\left ( a^{n} \right )^{m}=\underbrace{a^{n}\cdot a^{n}\cdot a^{n}\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ a^{n}}

                    m\ vezes

 

(a^{n})^{m}=a^{n+n+n+\cdot \cdot \cdot +n\;(m \;vezes)}

 

Desse modo,

(a^{n})^{m}=a^{n \cdot m}

Na potência de uma potência, mantém a base e multiplica os expoentes.

 

Exemplo 1: Calcule o valor de (3^{4})^{2}. Nesse caso podemos usar a propriedade de potência de potência.

(3^{4})^{2}=3^{4\cdot 2}=3^{8}=6561

 

Exemplo 2: Calcule o valor de(5^{18})^{0}. Nesse caso podemos usar a propriedade de potência de potência.

(5^{18})^{0}=5^{18\cdot 0}=5^{0}=1

 

Observação 1: A propriedade de potência de potência também é válida para expoentes negativos.

(a^{-n})^{m}=\left (\frac{1}{a^{n}} \right )^{m}=\frac{1^{m}}{a^{n\cdot m}}=\frac{1}{a^{n\cdot m}}=a^{-n\cdot m}

(a^{-n})^{m}=a^{-n\cdot m}

 

Observação 2: (a^{n})^{m}\neq a^{n^{m}}, pois:

\left ( a^{n} \right )^{m}=a^{n\cdot m}

    a^{n^{m}} =a^{n\cdot n\cdot n\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot n\ (m\ vezes)}

Como n\cdot m\neq n\cdot n\cdot n\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot n\ (m\ vezes) então:

(a^{n})^{m}\neq a^{n^{m}}

                                             

4.3. Potência de um produto: Sejam n\;\epsilon \;\mathbb{N} e a,\;b\;\epsilon\; \mathbb{R}

(a\cdot b)^{n}=\underbrace{(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot (a\cdot b)}

                 n\ vezes

 

\left ( a\cdot b \right )^{n}=\underbrace{\left ( a\cdot a\cdot a\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot a \right )}\cdot \underbrace{\left ( b\cdot b\cdot b\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot b \right )}

                      n\ vezes\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\ vezes

 

Desse modo, 

(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot a^{m}

A potência de um produto é o produto das potências. 

 

Exemplo 1: Calcule o (2^{5}\cdot 1^{23})^{2}. Nesse caso vamos utilizar a propriedade de potência do produto.  

(2^{5}\cdot 1^{23})^{2}=2^{5\cdot 2}\cdot 1^{23\cdot 2}=2^{10}\cdot 1^{46}=1024\cdot 1=1024

 

Exemplo 2: Calcule o . Nesse caso vamos utilizar a propriedade de potência do produto.  

(2\cdot x^{2})^{3}=2^{3}\cdot x^{2\cdot 3}=2^{3}\cdot x^{6}=8\cdot x^{6}

 

4.4. Potência de um quociente: Sejam n\;\epsilon \;\mathbb{N} e a,\;b\;\epsilon \;\mathbb{R}.

\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\underbrace{\frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \ \cdot \cdot \cdot \ \cdot \frac{a}{b}}

                n\ vezes

 

\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdot \cdot \cdot \;a}{b\cdot b\cdot b\cdot \;\cdot \cdot \cdot \;\cdot b}

 

Desse modo, 

\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}

A potência de um quociente é o quociente das potências.

 

Exemplo 1: Calcule o valor de \left ( \frac{2}{3} \right )^{2}. Nesse caso usaremos a propriedade de potência de um quociente.

\left ( \frac{2}{3} \right )^{2}=\frac{2^{2}}{3^{2}}=\frac{4}{9}

 

Exemplo 2: Calcule o valor de \left ( \frac{x^{3}}{3} \right )^{3}. Nesse caso usaremos a propriedade de potência de um quociente.

\left ( \frac{x^{3}}{3} \right )^{3}=\frac{x^{3\cdot 3}}{3^{3}}=\frac{x^{9}}{27}

 

5. Expoente irracional: As potências com expoentes irracionais são resolvidas da mesma maneira que as potências com expoentes racionais.

Todas as definições e propriedades são válidas e podem ser usadas. A única diferença é que as potências de expoentes irracionais são

feitas por meio de aproximações.

 

Exemplo 1: Calcule o valor de 3^{\sqrt{7}}. Sabemos que \sqrt{7}\simeq 2,64575131....Vamos considerar \sqrt{7}\simeq 2,64, então:

3^{\sqrt{7}}\simeq 3^{2,64}= 18,1802609

Se considerarmos \sqrt{7}\simeq 2,6457 então:

3^{\sqrt{7}}\simeq 3^{2,6457}= 18,2944646

Quanto mais casas decimais usarmos para fazer o cálculo, mais aproximado será o valor da potência. 

 

Exemplo 2: Calcule o valor de \left ( \frac{2}{3^{2}} \right )^{\sqrt{3}}. Antes de calcularmos o valor aproximado da \sqrt{3}, vamos simplificar as potências:

\left ( \frac{2}{3^{2}} \right )^{\sqrt{3}}=\frac{2^{\sqrt{3}}}{3^{2\sqrt{3}}}

Agora que já reduzimos ao máximo nossas potências, vamos calcular o valor aproximado delas:

\sqrt{3}\simeq 1,732

Então,

\left ( \frac{2}{3^{2}} \right )^{\sqrt{3}}\simeq \frac{2^{\sqrt{3}}}{3^{2\sqrt{3}}}=\frac{2^{1,732}}{3^{2\cdot 1,732}}=\frac{3,3218801}{44,9518972}=0,07389855