Resumo de matematica: Trigonometria - Álgebra (Trigonometria - Funções)



Função seno.

A função seno é definida por f(x)=sen(x), com f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} e é uma função circular, pois, basta pensarmos no ciclo trigonométrico, no qual, após a 1ª volta, os valores do seno repetem-se todos na 2ª volta, e na 3ª volta também e em todas as demais. Vale também se percorrermos a circunferência no sentido horário e, neste caso, seriam valores negativos da variável “x”, que representa os valores dos arcos.
Dessa forma, o gráfico que representa a função seno é

Período da função corresponde a um “comprimento de onda”, como dizemos na Física. No caso da função seno, perceba que uma onda inicia-se em x=0 e termina em x=2\pi, onde começa novamente uma outra onda idêntica. Nesse caso o período é 2\pi.

 

Função Seno - Gráfico

A imagem da função senof(x)=sen(x), definida em \mathbb{R}, é \left [ -1,1 \right ]. Mas quando inserimos outros elementos à lei de associação desta função, usando a composição de funções, a imagem pode mudar. Com isso, no caso da função  g(x)=a+b\cdot sen(cx+d), a e b, provocam alterações verticais no gráfico da função seno, sendo que o a provoca deslocamento enquanto  b estica ou encolhe o gráfico. Assim, a imagem dessa função g(x) fica \left [ a-\left | b \right |,a+\left | b \right | \right ].

Da mesma forma que a imagem pode se alterar, o período também. As constantes reais c e d provocam alterações horizontais. No caso, c estica ou encolhe, enquanto d desloca. Sendo assim, enquanto que o período de f(x) é 2\pi , o período de g(x) é \frac{2\pi }{\left | c \right |}.

 

Função cosseno.

A ideia de deformações e deslocamentos do gráfico da função seno vale também para a função cosseno. Com isso, seja a função f(x)=a+b\cdot cos(cx+d), definida em \mathbb{R}, a e b provocam alterações verticais enquanto que c e d provocam alterações horizontais e, ainda, os resultados do conjunto imagem e período são os mesmos para seno e cosseno. 

Sendo assim, se quisermos encontrar os valores de máximo e mínimo de uma função seno ou cosseno, definidas em \mathbb{R}, basta lembrarmos que -1\leq sen(x)\leq 1 e -1\leq cos(x)\leq 1. Por exemplo, na função g(x)=3-2\cdot cos(2x-2), definida em \mathbb{R}, tem seu máximo e mínimo determinados quando cosseno é -1 e 1, respectivamente, ou seja, seu máximo é 3-2(-1)=5e seu mínimo é 3-2\cdot1=1.    

 

Função cosseno.

Para determinarmos a lei de associação de uma função trigonométrica a partir do seu gráfico, devemos analisar as modificações e confrontá-las com os parâmetros. Por exemplo, para que valores de “a”, “b”, “c” e “d”, o gráfico da função, cuja lei é f(x)=a+b\cdot cos(cx+d), é o da figura abaixo?

Como a amplitude é 3-(-1)=4, então o módulo do valor de “b” é 2. Se a fosse igual a 1, então a variação da função seria de -2 a 2, mas como é de -1 a 3, ou seja, “subiu” uma unidade, então a = 1. A função deveria interceptar o eixo y inicialmente em 3, mas como inicia “embaixo”, significa que ela foi invertida, ou seja, “b” é negativo, portanto, b=2. Por fim, como o período é 4, então c=2. Como não houve deslocamento horizontal, d=0.


Função tangente.

No gráfico da função tangente existem linhas que limitam o gráfico chamadas de assíntotas, ou seja, o gráfico aproxima-se infinitamente essa linha, mas nunca a toca. Isso acontece porque existem valores de arcos para os quais a função não existe, como 90° (\frac{\pi}{2} \,rad). Quando pensamos no ciclo trigonométrico, toda vez que o arco “passa” pelo 90° ou outro congruente ao 90° ou ainda pelo 270° e seus côngruos, a tangente não existe. 

Com isso, o gráfico da função tangente em R fica com várias retas assíntotas. Vejamos a figura abaixo.

 

Função tangente. (Exercícios Resolvidos)

Análise de gráficos é uma situação recorrente em provas de vestibular. Quando o gráfico corresponde a uma função trigonométrica, precisamos saber quais são os parâmetros “inseridos” na função seno, cosseno ou tangente. Por exemplo, vamos analisar o problema abaixo. 

(ENEM - 2021) 

Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição P (em cm) da massa m em função do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo \displaystyle P (t)= \pm A\, cos\left ( \omega t \right) ou \displaystyle P (t)= \pm A\, sen\left ( \omega t \right), em que A > 0 é a amplitude do deslocamento máximo e \omega é a frequência, que se relaciona com o período T pela fórmula \omega = \frac{2\pi }{T}

Considera a ausência de quaisquer forças dissipativas. 

A expressão algébrica que representa as posições P(t) da massa m, ao longo do tempo no gráfico, é 

a) -3cos(2t)

b) -3sen(2t)

c) 3cos(2t)

d) -6cos(2t)

e) 6cos(2t)

Solução: 
Como nas leis sugeridas no problema não existe parâmetro sendo somado ou subtraído a x, então o gráfico não sofre deslocamento horizontal e como seu início (origem) não é no ponto (0, 0), então não será o gráfico de uma função seno, mas sim do cosseno. Se seu início na origem é negativo, então A tem valor negativo. Se a imagem é Im=\left [ -3,3 \right ], entãoA=-3. Como o período é \pi, então w=2. Portanto, resposta correta é letra “b”.