Resumo de matematica: Trigonometria - Álgebra

Seno da Soma e Diferença de Arcos

Os valores de seno, cosseno e tangente não são proporcionais aos ângulos, ou seja, o seno do dobro da medida de um arco não é o dobro do seno da medida deste arco, ou seja, seno de 60° não é o dobro do seno de 30°. Da mesma forma, o seno da soma ou diferença das medidas de dois arcos não é a soma, ou diferença da soma das medidas destes dois arcos.
As relações utilizadas para o cálculo da soma e diferença das medidas de dois arcos são:

$Sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)$
$Sen(a-b)=sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)$

É fácil perceber que o sinal do resultado acompanha o sinal da operação entre as medidas dos arcos, ou seja, para a soma das medidas de arcos, temos uma soma na fórmula, enquanto que para a diferença das medidas de arcos, temos uma diferença na fórmula.

Cosseno da Soma e Diferença de Arcos

Para o cálculo do cosseno da soma ou diferença das medidas de dois arcos, não se pode simplesmente somar ou subtrair os cossenos das medidas destes dois arcos, mas sim, utilizar as relações:

$Cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)$
$Cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)$

Percebe-se que existe uma diferença na fórmula quando queremos o cosseno da soma das medidas de dois arcos, enquanto que existe uma soma quando queremos o cosseno da diferença das medidas de dois arcos.

Por exemplo, para o cálculo do cosseno de 75°, temos:

$Cos(30^{\circ}+45^{\circ})=cos(30^{\circ})cos(45^{\circ})-sen(30^{\circ})sen(45^{\circ})$
$Cos(75^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$Cos(75^{\circ})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Tangente da Soma e Diferença de Arcos

Sabemos que

$Sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)$
$Cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)$

Assim, para obtermos a tangente da soma das medidas de dois arcos, basta dividirmos seno dessa soma pelo cosseno da mesma soma:

$tg(a+b)=\frac{sen(a+b)}{cos(a+b)}$
$tg(a+b)=\frac{sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)}$

$tg(a+b)=\frac{\frac{sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)}{cos(a)\cdot cos(b)}}{\frac{cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)}{cos(a)\cdot cos(b)}}$

$tg(a+b)=\frac{\frac{sen(a)}{cos(a)}+\frac{sen(b)}{cos(b)}}{1+\frac{sen(a)sen(b)}{cos(a)\cdot cos(b)}}$
$tg(a+b)=\frac{tg(a)+tg(b)}{1-tg(a)\cdot tg(b)}$

Seno, Cosseno, Tangente de Arcos Duplos

Sabemos que seno, cosseno e tangente da soma das medidas de dois arcos são

$Sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)$
$Cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)$
$tg(a+b)=\frac{tg(a)+tg(b)}{1-tg(a)\cdot tg(b)}$

Com isso, se os dois arcos possuem a mesma medida, ou seja, $a=b$ , então temos que o seno cosseno e tangente da medida de um arco duplo são:

$sen(2a)=2\cdot sen(a)cos(a)$
$cos(2a)=cos^2(a)-sen^2(a)$
$tg(2a)=\frac{2tg(a)}{1-ta^2(a)}$

Como $sen^2(a)+cos^2(a)=1$ (Relação Fundamental da Trigonometria), outra maneira de escrevermos o cosseno da medida de um arco duplo é

$cos^2(a)=2cos(a)-1$

Exercício Resolvido

Problemas que envolvem simplificação de expressões trigonométricas são muito comuns em provas. Por exemplo, a questão da UNICAMP (2021):

Se $\theta \epsilon \left (0,\frac{\pi}{2} \right )$ , então $\frac{\frac{cos(\theta )+sen(\theta )}{sen(\theta )}+\frac{cos(\theta )-sen(\theta )}{cos(\theta )}}{\frac{cos(\theta )+sen(\theta )}{cos(\theta )}+\frac{cos(\theta )-sen(\theta )}{sen(\theta )}}$ é equivalente a:

a) $cos^2(\theta )-sen^2(\theta )$
b) $cos(2\theta )+sen(2\theta )$
c) $cos(2\theta )-sen(2\theta )$
d) 1
Solução:

Temos que:

$\frac{\frac{cos(\theta )+sen(\theta )}{sen(\theta )}+\frac{cos(\theta )-sen(\theta )}{cos(\theta )}}{\frac{cos(\theta )+sen(\theta )}{cos(\theta )}+\frac{cos(\theta )-sen(\theta )}{sen(\theta )}}=$
$\frac{\frac{cos^2(\theta )+sen(\theta )cos(\theta)+sen(\theta)cos(\theta )-sen^2(\theta )}{sen(\theta )cos(\theta )}}{\frac{sen(\theta)cos(\theta )+sen^2(\theta )+cos^2(\theta)-cos(\theta)sen(\theta)}{cos(\theta )sen(\theta )}}=$
$\frac{cos^2(\theta )+sen(\theta )cos(\theta)+sen(\theta)cos(\theta )-sen^2(\theta )}{sen(\theta)cos(\theta )+sen^2(\theta )+cos^2(\theta)-cos(\theta)sen(\theta)}=$
$\frac{cos(2\theta )+sen(2\theta )}{1}$
$cos(2\theta )+sen(2\theta )$