Resumo de matematica: Função do 1° grau



Introdução à Função do 1° grau e Gráfico

Definição 

Denomina-se função polinomial do 1º grau qualquer função real f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x) = ax + b, sendo a e b números reais e a\neq 0. Numa função do 1º grau f(x) = ax + b, com a\neq 0, chamamos a e b de coeficiente angular e coeficiente linear, respectivamente.

Exemplos:
a) f(x) = 3x + 2 \rightarrow a = 3\, \text {e }b = 2
b) f(x) = -5- x \rightarrow a = -1\, \text {e }b = -5
c)f(x) = 4x\rightarrow a = 4\, \text {e }b = 0

Atenção

O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não-paralela ao eixo x e não-paralela ao eixo y.


OBSERVAÇÃO

A depender dos valores dos seus coeficientes, uma função do 1º grau pode ser classificada como:

a) Função linear: quando b=0;

Ex: f(x)=-3x  

b) Função identidade: quando a=1 e b=0.

Ex: f(x)=x

c) Função constante: quando a=0 

Ex: f(x)=4

Estudo dos coeficientes

Estudo do coeficiente angular

O coeficiente angular determinará a inclinação de uma reta em relação ao eixo das abscissas. Como na função do 1º grau, o coeficiente angular é diferente de zero, temos apenas duas possíveis situações a serem analisadas.

1º caso: a>0 (função crescente);

2º caso: a<0 (função decrescente).


Exemplos

a) f(x) = 2x - 1 \rightarrow f é crescente 
b)g(x) = 4 - x \rightarrow fé decrescente
c) h(x) = 3 \rightarrow f é constante


Estudo do coeficiente linear

O coeficiente linear, termo independente na função do 1º grau, indicará a ordenada do ponto no qual a reta interceptará o eixo das ordenadas, ou seja, esse ponto será representado pelo par ordenado (0; b).

b > 0              b = 0               b < 0

  

 

Determinação do coeficiente angular

Determinação do coeficiente angular

Considere uma função do 1° grau abaixo da forma y = f(x) = ax + b, com a\neq 0.

Demonstração 

Sabe-se que os pontos A e B pertencem ao gráfico.

\left\{\begin{matrix} ax_B+B=y_B & (I)\\ ax_A+B= y_A& (II) \end{matrix}\right.

Fazendo (I)-(II), temos:

ax_B-ax_A=y_B-y_A

a(x_B-x_A)=y_B-y_A

a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\Delta y}{\Delta x}

Exemplo 

Calcule o coeficiente angular da função do 1o grau que passa pelos pontos abaixo e verifique se a função é crescente ou decrescente:

a) A(1,5) e B(3, 11).

a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{11-5}{3-1}=3\rightarrow Função crescente (a > 0)

b) C(4, 10) e D(7, 5).

a=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\frac{10-5}{7-3}=-\frac{5}{3}\rightarrow  Função decrescente (a < 0)

 


Raiz ou zero da função e Estudo do Sinal

Raiz ou Zero da função 

Denomina-se raiz ou zero da função o valor de x que torna f(x) = 0. Sendo assim, temos quex=-\frac{b}{a} é raiz de f(x) = ax + b, com a\neq 0.

Graficamente, a raiz da função indica a interseção da reta com o eixo das abscissas.

 

Exemplo

Determine a raiz das seguintes funções:

a) f(x) = 2x - 3

f(x) = 0\Rightarrow 2x -3 = 0

2x=3

x=\frac{3}{2}

b) g(x) = 7 - x

​​​​​​​g(x) = 0\Rightarrow 7 -x = 0

- x = - 7

x=7

Estudo do sinal da função do 1º grau

Estudar o sinal de uma função significa determinar, para quais valores x do seu domínio, a função é negativa, nula e positiva.

Assim, calculamos a raiz da função e analisamos os intervalos nos quais o seu gráfico está acima (positiva), abaixo (negativa) ou sobre (nula) o eixo x.

Considerando x' a raiz da função f(x) = ax + b, com a\neq 0, temos:

1º caso: a > 0

  • y < 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x < x'\}
  • y = 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x = x'\}
  • y > 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x > x'\}

2º caso: a < 0

​​​​​​​

  • y < 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x > x'\}
  • y = 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x = x'\}
  • y > 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x < x'\}