Resumo de matematica: Conceito de Função

Definição

Uma função f é uma lei (relação) que faz cada elemento x de um conjunto A corresponder a um único elemento y do conjunto B. Dizemos que y é a variável dependente e x a variável independente.

Esquema de uma função que transforma x em y.

Podemos expressar matematicamente a definição das seguintes formas:

f: A $\rightarrow$ B ou f: A $\dpi{120} \xrightarrow[ ]{ f }$ B (Lê-se: função ƒ de A em B, ou aplicação ƒ de A em B, ou transformação ƒ de A em B.)
x $\mapsto$ y (Lê-se: função ƒ transforma (ou leva) x em y.)
y = f(x) (Lê-se: y é uma função ƒ de x $\Rightarrow$ o valor de y depende do valor atribuído a x).

Exemplo 1: Dada a expressão y = x + 2 . Lembra que podemos escrever y = f(x)? Com isso queremos dizer que o valor de y depende do valor de x! Então, vamos escolher três (3) valores para x e avaliar como y varia.

Quando x = -1, quanto vale f(-1) = ? ; f(x) = x + 2 $\Rightarrow$ f(-1) = -1 + 2 $\Rightarrow$ f(-1) = 1
Quando x = 0, quanto vale f(0) = ? ; f(x) = x + 2 $\Rightarrow$ f(0) = 0 + 2 $\Rightarrow$ f(0) = 2
Quando x = 1, quanto vale f(1) = ? ; f(x) = x + 2 $\Rightarrow$ f(-1) = 1 + 2 $\Rightarrow$ f(1) = 3

Comentários: Perceba que mostramos como o valor de y varia quando o valor de x varia, ou seja, o valor de y depende do valor de x.

Domínio, Contradomínio e Imagem da Função

Voltando à primeira definição de função, o conjunto A é denominado de Domínio D(f) da função e o conjunto B é o Contradomínio CD(f). Para cada x $\in$ D, o y $\in$ CD é denominado de Imagem da função Im(f)ou Im.

Dominio e Contradominio de uma função f.

Voltemos ao Exemplo 1: Perceba que poderíamos ter escolhido infinitos números para x e testar na expressão y = x + 2.

O conjunto {-1 ; 0 ; 1} é um subconjunto (muito pequeno) do Domínio D(f) da função. Por isso, podemos dizer que {-1 ; 0 ; 1} $\subset$ D(f).

O conjunto {1 ; 2; 3} é um subconjunto (também muito pequeno) da Imagem Im(f) da função. Por isso, podemos dizer que {1 ; 2 ; 3} $\subset$ Im(f).

Observação: Por tradição/convenção, a variável dependente é representada pela letra y; e a variável dependente é representada pela letra x. Mas em cada problema você pode usar as letras que achar mais conveniente. O importante é sempre definir qual variável é a independente e qual é a dependente.

Alguns Exemplos a partir da Definição

Exemplo 2: Algumas formas de expressar uma função:

a) y = 2x + 1

b) y = 4 – x

c) y = 1,5x – 4,25

Exemplo 3: Analisando através da Tabela 1 como o custo de abastecimento de combustível varia em função do volume de combustível. Pergunta-se:

Tabela 1 – O custo varia com o volume abastecido.

a) Quanto custa 1L de combustível? Qual a expressão que define o custo em função do volume?

R: Se 5L custam R$12,50, 1L custa 12,50/5 = 2,50.

Portanto, temos que C = 2,5V, onde C é o custo de abastecimento e V é o volume abastecido.

b) Quanto custa 8L de combustível?

R: Sabendo a forma da função Custo em função do Volume é C = 2,5V, temos que C = 2,5*8 $\dpi{120} \Rightarrow$ C = 20,00.

c) Se alguém paga R$60,00, quantos litros essa pessoa abasteceu?

R: Substituindo na expressão C = 2,5V fica $\dpi{120} \Rightarrow$ 60 = 2,5V $\dpi{120} \Rightarrow$ V = 60/2,5 $\dpi{120} \Rightarrow$ V = 24L

Comentários: Através do Exemplo 2, vimos que o custo de abastecimento C é dependente do volume abastecido V (variável independente). Com isso podemos dizer que nesse caso que a função y = f(x) pode ser escrita na forma C = f(V).

Mais um exemplo!

Exemplo 4: Dado um retângulo com lado maior de m e lado menor n e perímetro de 24cm.

Retângulo do Exemplo 3

Nesse caso:

a) Qual a lei que rege a relação de m em função de n?

R: O perímetro (2p) de um retângulo é dada pela seguinte expressão 2p = 2m + 2n. Temos: 24 = 2m + 2n $\dpi{120} \Rightarrow$ 2m = 24 – 2n $\dpi{120} \Rightarrow$ m = $\mathbf{\frac{24 - 2n}{2}}$ (lei que define a relação entre o lado maior e menor).

b) Se o lado menor for 3cm, qual o valor do lado maior?

R: Sabendo que m = $\mathbf{\frac{24 - 2n}{2}}$ , temos: m = ${\frac{24 - 2*3}{2}} = \frac{18}{2}$ $\dpi{120} \Rightarrow$ m = 9cm