Resumo de matematica: Plano Cartesiano

Plano cartesiano

1) Par Ordenado

Definimos como par ordenado todo conjunto binário que leva em consideração a ordem e a natureza de seus elementos.

(x;y)⟺{x:abscissa y:ordenada

A composição, abscissa e ordenada, é chamada de coordenadas cartesianas.

2) Pares Ordenados Iguais

Dois pares ordenados (a; b) e (c; d) são iguais se, somente se, a = c e b = d, isto é:

(a;b)=(c;d)⟺{a=c e b=d

3) Sistema Cartesiano Ortogonal

Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de um plano e o conjunto de pares ordenados de números reais, isto é, cada ponto do plano corresponde um único par ordenado (x; y) e cada par ordenado (x; y) está associado a um único ponto do plano. Para estabelecer uma dessas correspondências biunívocas são usadas dois eixos ortogonais (eixo x e eixo y) que formam o sistema cartesiano ortogonal. A interseção dos eixos x e y é o ponto O, chamado origem do sistema.

O: (0; 0), origem do Sistema Cartesiano.

4) Quadrantes e Sinais

O plano cartesiano é dividido em quatro regiões distintas chamadas quadrantes.

5. RETAS ESPECIAIS

5.1) Reta vertical (x = k, com $\epsilon$ R)

5.2) Reta horizontal (y = k, com $\epsilon$ R)

5.3) 1ª bissetriz
Chamamos de 1ª bissetriz ou bissetriz dos quadrantes ímpares, o conjunto de todos os pontos do plano que possuem abscissas e ordenadas iguais, representado pela equação y = x;

5.4) 2ª bissetriz
Chamamos de 2ª bissetriz ou bissetriz dos quadrantes pares, o conjunto de todos os pontos do plano que possuem abscissas e ordenadas opostas, representado pela equação y = - x.

PRODUTO CARTESIANO

Dados dois conjuntos não-vazios A e B, definimos como produto cartesiano de A por B, representado por A x B, o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) tais que x $\epsilon$ A e y $\epsilon$ B.

$A\ x\ B = {(x,y)/x\ \epsilon \ A \ e \ y\ \epsilon\ B}$

Propriedades

I) A x $\neq$ BB x A, isto é, o produto cartesiano não é comutativo, com exceção para A = B;

II) n( A x B ) = n( A ) . n( B );

III) A2 = A x A.

RELAÇÃO BINÁRIA

Dados dois conjuntos A e B, chama-se de relação binária de A em B, todo subconjunto de A x B.

Ex.: Se A = {0; 1; 2} e B = {1; 2}, então:

A x B = {(0; 1), (0; 2), (1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2)}, logo temos:

R₁ = {(0; 1), (0; 2)}(pares ordenados cuja abscissa é nula);

R₂ = {(1; 1), (2; 2)}(pares ordenados tais que y = x).

Representação

Uma relação binária pode ser representada das seguintes maneiras:

I) Listagem ou enumeração dos pares ordenados:

R = {(1; 1), (2; 2)};

II) Diagrama de flechas:

III) Gráfica:

IV) Forma simbólica ou propriedade:

R = {(x, y) $\epsilon$ A x B / y = x}.

Conjunto de partida: Conjunto formado por todas as possíveis abscissas da relação.

Conjunto de chegada ou Contradomínio: Conjunto formado por todas as possíveis ordenadas da relação;

Domínio: Conjunto formado por todos os elementos do conjunto de partida que participam da relação;

Imagem: Conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que participam da relação.

Ex: Sejam os conjuntos A = {0; 1; 2} e B = {1; 2} e a relação R = {(x; y) $\epsilon$ A x B / y = x + 1}:

Para x = 0 🡪 y = 0 + 1 🡪 y = 1, (0; 1) $\epsilon$ R
Para x = 1 🡪 y = 1 + 1 🡪 y = 2, (1; 2) $\epsilon$ R
Para x = 2 🡪 y = 2 + 1 🡪 y = 3, (2; 3) $\epsilon$ R

Logo,

R = {(0, 1), (1, 2)}
D(R) = {0, 1)
Im(R) = {1, 2}