Resumo de matematica: Área de figuras planas



Área de figuras planas

Por: Aline Ribeiro 

 

A área pode ser definida como o espaço que uma superfície ocupa, a parte interna e a borda de uma poligonal fechada. É adotado pelo sistema internacional

a unidade de metros quadrados para o cálculo de  áreas.

 

Observação: É utilizado medidas ao quadrado para o cálculo da área, pois estamos lidando com superfícies de duas dimensões.

 

1. Área de um quadrado: O quadrado é um quadrilátero que possui todos os lados com a mesma medida e os quatro ângulos retos.

Sua área pode ser calculada como:

A_{\ Quadrado}=l\cdot l

A_{\ Quadrado}=l^{2} 


2. Área de um retângulo: O retângulo é um quadrilátero que possui os lados opostos com a mesma medida e os quatro ângulos retos.

Sua área pode ser calculada como:

A_{\ Retangulo}=b\cdot h


3. Área de um paralelogramo: O paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos e congruentes e os ângulos opostos com mesma medida.

Pensando nisso podemos prolongar a reta \overline{BC} até o ponto F, formando o triângulo retângulo DCF.  

Com isso temos que \Delta ABE=\Delta DCF.

Assim a área do paralelogramo ABCD será congruente a área do retângulo AEFD. Desse modo:

A_{\ Paralelogramo}=A_{\ Retangulo}

A_{\ Paralelogramo}=\left (b-x+x \right )\cdot h

A_{\ Paralelogramo}=b\cdot h

 

4. Área de um triângulo: O triângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos.

Considere o triângulo ABC, onde h é a altura e b é a medida da base. Construindo um triângulo CEA congruente a ABC, temos:

Com isso, temos um paralelogramo formado por dois triângulos congruentes. Pensando nisso a área do triângulo pode ser expressa como:

2\cdot A_{\ Triangulo}=A_{\ Paralelogramo}

A_{\ Triangulo}=\frac{A_{\ Paralelogramo}}{2}

A_{\ Triangulo}=\frac{b\cdot h}{2}

 

5. Área do triângulo equilátero: O triângulo equilátero é um triângulo que possui todos os lados congruentes e os ângulos iguais a 60º. 

A altura de um triângulo equilátero divide a base em dois lado iguais, é como se estivessemos dobrando o triângulo ao meio e a altura fosse a nossa dobra.

Usando o teorema de Pitágoras para determinar a medida da altura desse triângulo, temos:

l^{\ 2}=\left ( \frac{l}{2} \right )^{2}+h^{2}

l^{\ 2}= \frac{l}{4}^{2}+h^{2}

\frac{4l^{\ 2}}{4}= \frac{l}{4}^{2}+\frac{4h^{2}}{4}

4l^{\ 2}- l^{2}=4h^{2}

3l^{2}=4h^{2}

h=\frac{l\sqrt{3}}{2}

Agora que já sabemos a medida da altura do triângulo podemos calcular a sua área em função dos lados.

A_{\ Triangulo\ Equilatero}=\frac{b\cdot h}{2}

A_{\ Triangulo\ Equilatero}=\frac{l}{2}\cdot\frac{l\sqrt{3}}{2}

A_{\ Triangulo\ Equilatero}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}

                                                                                                                                                                                                                              

6. Área do losango: O losango é um quadrilátero que possui todos os lados com a mesma medida e os ângulos opostos congruentes. Na figura D e d

representam as medidas das diagonais desse losango. 

Sabe-se que as diagonais de um losango se cruzam no ponto médio, ou seja, o ponto A da figura é o ponto médio das diagonais \overline{MO} e \overline{NP}. Com isso

o losango pode ser dividido em quatro triângulos retângulos congruentes. 

          

Sabendo disso podemos expressar a área do losango como sendo:

A_{\ Losango}=4\cdotA_{\ Triângulo}

A_{\ Losango}=4\cdot\left ( \frac{D}{2}\cdot\frac{d}{2} \right )\cdot \frac{1}{2}

A_{\ Losango}=4\cdot\frac{D\cdot d}{4}\cdot \frac{1}{2}

A_{\ Losango}=\frac{D\cdot d}{2}

 

7. Área do trapézio: O trapézio é um quadrilátero com um par de lados paralelos e medidas distintas. O outro par de lados podem ser congruentes ou não.

Para calcular a área do trapézio iremos dividi-lo em três polígonos: Um retângulo e dois triângulos retângulos.

A_{\ Trapezio}=A_{\ \Delta MNQ}+A_{\ Retangulo}+A_{\ \Delta PRO}

A_{\ Trapezio}=\frac{m\cdot h}{2}+b\cdot h+\frac{n\cdot h}{2}

A_{\ Trapezio}=\frac{m\cdot h}{2}+\frac{2\cdot b\cdot h}{2}+\frac{n\cdot h}{2}

A_{\ Trapezio}=\frac{h}{2}\cdot \left (m+2b+n \right )

A_{\ Trapezio}=\frac{h}{2}\cdot \left (m+b+n+b \right )

Temos que m+b+n=B\ (Base\ maior), então:

A_{\ Trapezio}=\frac{h}{2}\cdot \left ( B+b \right )

 

8. Área do hexágono regular: Um hexágono regular é um polígono com seis lados e seis ângulos congruentes.


O hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros congruentes, pois os ângulos desses triângulos serão todos 60º (você pode tirar a

prova calculando a medida do ângulo central e a medida dos ângulos do hexágono, lembrando que as diagonais são bissetrizes dos ângulos).

 Com isso podemos calcular a área do hexágono regular facilmente:

A_{\ Hexagono\ regular}=6\cdot A_{\ Triangulo\ equilatero}

A_{\ Hexagono\ regular}=6\cdot \left ( \frac{l^{2}\cdot \sqrt{3}}{4} \right )

A_{\ Hexagono\ regular}=\frac{3\cdot l^{2}\cdot \sqrt{3}}{2}

 

9. Área do octógono regular: Um octógono regular é um polígono com oito lados e oito ângulos congruentes.

O octógono regular pode ser dividido em oito triângulos isósceles congruentes (esse fato pode ser verificado utilizando uma circunferência circunscrita

ao polígono, onde os lados dos triângulos serão o raio da circunferência).

A área do octógono regular será oito vezes a área do triângulo. Pensando nisso vamos determinar a área de desses triângulos:

                                                                                               

Iremos calcular a altura em função do lado, para determinar a área. Já sabemos que os ângulos da base medem 67,5º (pode ser verificado calculando a

medida do ângulo interno do octógono e dividindo por dois). Então:

       tg\left ( 67,5^{\circ} \right )=\frac{h}{\frac{l}{2}}

tg\left ( 67,5^{\circ} \right )\cdot \frac{l}{2}=h

Por fim, podemos definir a área de um octógono como sendo:

A_{\ Octogono\ regular}=8\cdot A_{\ Triangulo}

A_{\ Octogono\ regular}=8\cdot \frac{tg\left ( 67,5^{\circ} \right )}{2}\cdot \frac{l}{2}

A_{\ Octogono\ regular}=2\cdot l^{2}\cdot tg\left ( 67,5^{\circ} \right )