Resumo de matematica: Geometria plana



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GEOMETRIA 

CONCEITOS PRIMITIVOS 

 

As noções primitivas são aceitas sem definição, pois decorrem do conhecimento intuitivo, decorrente da experiência e da observação. 

Adotaremos sem definição as noções de PONTO, RETA e PLANO.

 

  • Ponto

 

Os pontos são denotados por letras latinas maiúsculas, por exemplo, A, B, C, ...

 

 

“Os pontos são adimensionais.”

 

  • Reta

 

As retas, geralmente, são denotadas por letras latinas minúsculas, por exemplo, r, s, t, ...

 

 

“As retas são figuras unidimensionais.”

 

  • Plano 

Os planos, geralmente, são denotados por letras gregas minúsculas, por exemplo, \alpha, \beta, \gamma,...

 

 

“Os planos são figuras bidimensionais.”

 

OBSERVAÇÕES 

Os pontos e as retas serão coplanares se, somente se, pertencerem ao mesmo plano.

 

Propriedades Geométricas

 

  • Postulados ou Axiomas: Proposições iniciais que são aceitas sem demonstração para que sejam base na construção da teoria.

 

Alguns postulados importantes

 

P1 – Existem infinitas retas que passam por um plano.

r\cap s \cap t \cap u = \{P\}

 

P2 - Postulados da existência 

 

  • Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.

 

 

  • Num plano há infinitos pontos, bem como fora dele.

 

 

P3 – Postulados da determinação

 

  • Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

 

r=AB^{\leftrightarrow }

 

  • Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

 

 

  • Teoremas: Proposições que para serem aceitas devem ser demonstradas. 

 

Exemplos

 

a) “A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°.”



\alpha + \beta + \gamma= 180^o 


 

b) “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”

 

a^2 = b^2 + c^2

 

OBSERVAÇÃO

Quando dois ou mais pontos estiverem numa mesma reta, chamaremos de pontos colineares.

 

 

Os pontos A, B e C são colineares, pois pertencem a reta r.


 

ATENÇÃO

Sobre a figura, temos que:

1. a reta r, também poderá ser denotada por AB^\leftrightarrow.

2. a semirreta é a parte da reta limitada por um ponto. Temos por exemplo que a semirreta que limitada por A passando por B é denotada por AB^\rightarrow

3. o segmento de reta é a parte da reta limitada por dois pontos. O segmento \overline{AB} é a única parte da reta que poderá ser medida. 

 

Tipos de segmentos de reta

  • Segmentos consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, existir uma extremidade em comum.

 

 

Os segmentos AB e BC são consecutivos.
 

Os segmentos MN e OP não são consecutivos, mas são colineares.

 

 

  • Segmentos adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se, e somente se, possuem apenas uma extremidade em comum.

 

 

Os segmentos AB e BC são adjacentes, enquanto que \overline{MP} e \overline{NP} não são adjacentes.


 

PONTO MÉDIO

É o ponto de um segmento que o divide em dois segmentos congruentes.

 

 

B é o ponto médio do segmento AC, pois\overline{AB}\equiv \overline{BC}.

 

  • Região convexa: Dois pontos quaisquer dessa região definem um segmento inteiramente contido na região. 

 

 

Se uma região não é convexa, ela é uma região côncava. 


 

Ângulo

É a reunião de duas semirretas do plano com mesma origem.

    A\hat{O}B= B\hat{O}A=\alpha

Elementos 

  • O é o vértice.
  • \vec{OA}\vec{OB} são lados. 

 

OBSERVAÇÕES

 

  • Ângulos consecutivos: Ângulos que possuem um lado em comum.


Os ângulos A\widehat{O}C e B\widehat{O}C são consecutivos.

  • Ângulos adjacentes: Ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns.

 

Os ângulos AOC e BOC são adjacentes
 

  • Bissetriz de um ângulo: É uma semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.


\overset{OB}{\rightarrow}OB é bissetriz de A\widehat{O}C.

AOB≡BOC

  • Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.): Ângulos em que os lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.


Os ângulos A\widehat{O}B e C\widehat{O}D são o.p.v.

 

  • Congruência de ângulos 

A congruência (símbolo \equiv ) entre ângulos é uma noção primitiva que satisfaz os seguintes postulados:

 

1º) Reflexiva. Todo ângulo é congruente a si mesmo: abab. ˆ

2º) Simétrica. Se ab cd, então cdab

3º) Transitiva. Se ab≡ cd e cd ef, então ab  ef

 

 

  • Adição de ângulos 

Se a semirreta \overset{Ob}{\rightarrow}  é interna ao ângulo A\hat{O}C, o ângulo A\hat{O}C é soma dos ângulos A\hat{O}B e B\hat{O}C.




\hat{ ac} = \hat{ab }+\hat{ bc}

 

 

Ângulo

É a reunião de duas semirretas do plano com mesma origem.

     A\hat{O}B= B\hat{O}A=\hat{AB}=\alpha


 

OBSERVAÇÕES 

  • \hat{AB}=\hat{CD} \Rightarrow med(\hat{AB})=med(\hat{CD})
  • \hat{AB}>\hat{CD }\Leftrightarrow med(\hat{AB})>med(\hat{CD})
  • \hat{AB}>\hat{CD} + \hat{DE} \Leftrightarrow med(\hat{AB})=med(\hat{CD})+med (\hat{DE})

Classificação dos ângulos – Medidas

  • Nulo (A\hat{O}B=0^o)



 

  • Reto (A\hat{O}B=90^o)



 

  • (A\hat{O}B=180^o)

 

 

  • Agudo (0^o<\hat{AOB}<90^o)

 


 

  • Obtuso (90^o<\hat{AOB}<180^o)

 


 

  • Pleno  (\hat{AOB}= 360)




 

Grau (º)

Por definição, 1 grau é a medida do arco equivalente a 1360 da circunferência, ou seja, um arco de uma volta completa mede 360°. 

 

 

\hat{AB} = 90º

\hat{BC} = 90º

\hat{CD} = 90º

\hat{DA} = 90º

 

Atenção

 

1º equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.

Ângulo 

É a reunião de duas semirretas do plano com mesma origem.

 

 

A\hat{O}B= B\hat{O}A=AB=\alpha

 

Classificação dos ângulos – Soma

De acordo com a soma de suas medidas

 

  • Complementares 



 

A\hat{O}C+C\hat{O}B=90^o

 

  • Suplementares



 

A\hat{O}C+C\hat{O}B=180^o

 

  • Replementares

A\hat{O}C+B\hat{O}A=360^o


 

Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.): Ângulos em que os lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.

 

Os ângulos A\hat{O}B e C\hat{O}D são o.p.v.

Propriedade

Os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

 

Assim, A\hat{O}B =C\hat{O}D e A\hat{O}D =B\hat{O}C.

 

 

DICA 1 

PONTO MÉDIO: É o ponto de um segmento que o divide em dois segmentos congruentes.

 

 

B é o ponto médio do segmento AC, pois \overline{{AB}}\equivBC.


 

DICA 2

Nas operações com ângulos é preciso escrever os minutos e segundos com medidas menores que 60. Assim, utilizar de que 1º equivale a 60’ e 1’ equivale a 60” é necessário.

 

DICA 3

Propriedade: Os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

 

 

A\hat{O}B=C\hat{O}D e A\hat{O}D=B\hat{O}C

DICA 4

Bissetriz de um ângulo: É uma semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.



\overset{OB}{\rightarrow} é bissetriz de A\hat{O}C.
A\hat{O}B\equiv B\hat{O}C

 

DICA 5

Ângulos complementares: \alpha + \beta = 90^o

Ângulos suplementares: \alpha + \beta = 180^o

Ângulos replementares: \alpha + \beta = 360^o