Resumo de matematica: Teorema da bissetriz externa



Teorema da bissetriz externa

Por: Aline Ribeiro

 

 Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo externo divide o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos lados adjacentes. 

\frac{m}{n}=\frac{c}{b}

 

Exemplo 1: Em um triângulo ABC, as bissetrizes interna e externa traçadas a partir do vértice B encontram o lado oposto (ou seu prolongamento) nos

pontos M e N, respectivamente. Se AC = 21, AB = 16 e AN= 21, calcule os comprimentos dos segmentos BC e AM. 

Aplicando o teorema da bissetriz externa temos:

 \frac{21+21}{21}=\frac{x}{16}

\frac{42}{21}=\frac{x}{16}

2=\frac{x}{16}

x=32

Então BC=32.

Aplicando o teorema da bissetriz interna temos:

\frac{21-y}{y}=\frac{x}{16}

Como x = 32, então:

\frac{21-y}{y}=\frac{32}{16}

\frac{21-y}{y}=2

21-y=2y

21=2y+y

21=3y

7=y

 

Exemplo 2: Sejam D e E respectivamente os pés das bissetrizes interna e externa do ângulo  do triângulo ABC. Sabendo que AB=4, AC=2 e BC=3,

calcule o comprimento do raio do círculo circunscrito ao triângulo DAE.

 

 

Pelo módulo de ângulos, sabemos que o ângulo mostrado na figura acima é 90º, portanto DE será o diâmetro da circunferência. Como queremos determinar

a medida do raio dessa circunferência estamos interessados em calcular a metade  do comprimento de DE. Para isso temos:

Aplicando o teorema da bissetriz externa temos: 

\frac{3+x}{x}=\frac{4}{2}

\frac{3+x}{x}=2

3+x=2x

3=2x-x

3=x

Então CE=3.

Aplicando o teorema da bissetriz interna temos:

\frac{z}{4}=\frac{y}{2}

2z=4y

z=2y

Além disso, sabemos que z + y = 3, substituindo z = 2y, temos:

z+y=3

2y+y=3

3y=3

y=1

Então CD=1.

Por fim, temos que o raio da circunferência será:

\frac{DE}{2}=\frac{DC+CE}{2}=\frac{1+3}{2}=2