Resumo de matematica: Função do 2° grau



Introdução à Função do 2° grau, Gráfico e Estudo da concavidade

Definição

Denomina-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática qualquer função real f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x) = ax^2 + bx + c, com a, b e c reais e a\neq 0.

Assim, são exemplos de funções do 2º grau:

a) f(x) = 5x^2 - 3x + 8 \rightarrow a = 5, b = - 3\, \text{e }c = 8

b) f(x) = 2x^2 - 1 \rightarrow a = 2, b = 0\, \text{e }c = -1

c) f(x) = -x^2 \rightarrow a = -1, b = 0\, \text{e }c = 0

Atenção

O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola.

Exemplo 

Determine o conjunto dos possíveis valores de m, para que exista a função do 2° grau f(x) = (2m + 6)x^2 + 4x - 5.

2m+6\neq 0\rightarrow m\neq -3

Portanto, m\,\epsilon \,\mathbb{R}-\left \{ -3 \right \}

Estudo do coeficiente “a”

O coeficiente "a" da função do 2º grau f(x) = ax^2 + bx + c, com a\neq 0, indicará a concavidade da parábola.

a> 0 a< 0
Concavidade voltada para cima Concavidade voltada para baixo

Exemplo 

Determine o conjunto dos possíveis valores de m, para que a função do 2° grau f(x) = (2m + 6)x^2 + 4x - 5 tenha a concavidade voltada para cima.

2m + 6>0\rightarrow m>-3

Portanto, S=\left \{ m\,\epsilon \,\mathbb{R} |m>-3 \right \}

 

Interseção com os eixos cartesianos

  • Interseção com o eixo das ordenadas (Oy)

O coeficiente "c", termo independente na função do 2º grau, indicará a ordenada do ponto no qual a parábola interceptará o eixo das ordenadas, ou seja, esse ponto será representado pelo par ordenado (0; c).

Na família das parábolas com a > 0, por exemplo, temos que os gráficos I, II e III possuem, respectivamente, c < 0, c = 0 e c > 0.

  • Interseção com o eixo das abscissas (Ox)

Denominam-se raízes ou zeros da função os valores de x que tornam f(x) = 0. Sendo assim, temos que as raízes ou zeros da função do 2º grau são os valores de x que satisfazem à equaçãoax^2 + bx + c = 0, com a\neq 0.

Graficamente, as raízes da função indicarão as interseções da parábola com o eixo das abscissas.

Sobre a equação do 2º grau ax^2 + bx + c = 0, com a \neq 0, precisamos lembra de:

I. Cálculo do discriminante \Delta;

\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c

II. Fórmula Quadrática;  

x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}

III. Soma e Produto das raízes (Relações de Girard);

x_1+x_2=-\frac{b}{a}  ; x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

IV. Estudo do discriminante \Delta.

\Delta >0: a função possuirá duas raízes reais e distintas (a parábola interceptará o eixo Ox em dois pontos distintos);

\Delta =0 a função possuirá duas raízes reais e iguais (a parábola intercepta o eixo Ox em apenas um ponto);

\Delta <0: a função não possuirá raízes reais (a parábola não intercepta o eixo Ox).


Estudo do vértice

Extremante 

O extremante de uma função do 2º grau é representado por um ponto chamado de Vértice da Parábola. 

a>0 a<0

 

Sendo assim, temos que as coordenadas do vértice V(x_V, y_{V}) poderão ser determinadas das seguintes maneiras:

I. Cálculo do xv

x_V=\frac{x_1+x_2}{2}    ou    x_V=-\frac{b}{2a}

II. Cálculo do yv

y_V=f\left ( x_V \right )   ou      y_V=-\frac{\Delta }{4a}

Ex1Determine as coordenadas do vértice da função f (x) = x^2 - 6x + 5.

x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-6)}{2\cdot 1}=3

y_V=f\left ( x_V \right )=(3)^2-6\cdot( 3)+5=-4

Assim, o vértice da função do 2° grau é o ponto de coordenadas V(3;-4)

Ex2: Se o vértice da parábola dada por f(x) = x^2 - 4x + m é o ponto \left ( x_V,5 \right ), então o valor de \mathbf{m} é:

a) 0       

b) 5                       

c) – 5            

d) 9           

e) – 9 

Resolução - d

-\frac{\Delta }{4a}

-\left ( b^2-4ac \right )=20a

-\left [\left ( -4 \right )^2-4\cdot 1\cdot m \right ]=20\cdot 1

-16+4m=20

4m=36

m=9

Atenção: 

A função do 2° grau f(x) = ax^2 + bx + c, com a ≠ 0, poderá ser escrita com as coordenadas do vértice V(x_V, y_{V}) pela forma canônica f(x) = a(x - x_V)^2 + y_V

Exemplo 

Escreva a função f (x) = x^2- 6x + 5 na forma canônica.

A forma canônica é dada por f(x) = a(x - x_V)^2 + y_V

x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-6)}{2\cdot 1}=3

y_V=f\left ( x_V \right )=(3)^2-6\cdot (3)+5=-4

Assim, a função na forma canônica está expressa por f(x) = a(x - 3)^2 - 4.

 

Características do vértice

EXTREMANTE 

O extremante de uma função do 2º grau é representado por um ponto chamado de Vértice da Parábola. Esse ponto poderá ser máximo (a<0) ou mínimo (a>0)

a>0 a<0

Ponto Mínimo \rightarrow V(x_V;y_V)

Valor Mínimo \rightarrow y_V

Ponto Máximo\rightarrow V(x_V;y_V)

Valor Máximo \rightarrow y_V

IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

  1.  a>0\rightarrow Im=[y_V;+\infty [

 

  1.  a<0\rightarrow Im=]+\infty ; y_V]


VARIAÇÃO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

I. a>0

Crescente: [x_V;+\infty [

Decrescente: ]-\infty;x_V]

 

II. a < 0

 

Crescente: ]-\infty;x_V] 

Decrescente: [x_V;+\infty [

Aplicações 

01. O intervalo real para que a função f(x) = x^2 - 8x + 7 seja crescente é:

a) \left \{ x\, \epsilon\,\mathbb{R}/x\geq 4 \right \}
b) \left \{ x\, \epsilon\,\mathbb{R}/x\leq 4 \right \}
c) \left \{ x\, \epsilon\,\mathbb{R}/x\geq 8 \right \}
d) \left \{ x\, \epsilon\,\mathbb{R}/x\leq 8 \right \}
e) \left \{ x\, \epsilon\,\mathbb{R}/1\leq x\leq 4 \right \}

Resolução – a

Sendo o coeficiente a=1, temos que a concavidade estará voltada para cima e o crescimento acontecerá no intervalo x\geq x_V.
Sendo x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-8)}{2\cdot 1}=4, logo o intervalo de crescimento será em x\geq 4.

 

02. (PUC - RJ) Um vendedor de picolés verificou que a quantidade diária de picolés vendidos (y) varia de acordo com o preço unitário de venda (p), conforme a lei y=90-20p. Seja P o preço pelo qual o picolé deve ser vendido para que a receita seja máxima. 
Assinale o valor de P

a) R$ 2,25 
b) R$ 3,25 
c) R$ 4,25 
d) R$ 5,25 
e) R$ 6,25

Resolução – a 
A receita é calcula da pela relação:
Receita = (Preço de venda) x (Quantidade)
Sendo assim, temos que R = p \cdot (90 - 20p) \Rightarrow R = -20p^2 + 90p
Portanto, para que a receita seja máxima, o valor de p deverá ser -\frac{b}{2a}=-\frac{90}{2(-20)}=2,25

 

03. A imagem da função f(x) = x^2 - 6x + 10 é o conjunto:

a) \left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/y\geq 0 \right \}
b) \left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/y\geq 1 \right \}
c) \left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/y\geq 2 \right \}
d) \left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/y\leq 2 \right \}
e) \left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/1\leq y\leq 2 \right \}

Resolução – b

Sendo o coeficiente a=1, temos que a concavidade estará voltada para cima e a imagem acontecerá no intervalo y\geq y_V.

Assim,
y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4\cdot a\cdot b}{4\cdot a}=-\frac{(-6)^2-4\cdot 1\cdot 10}{4\cdot 1}=-\frac{-4}{4}=1

Portanto, a imagem é o conjunto \left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/y\geq 1 \right \}.

 Estudo do Sinal

Consideremos a função real f(x) = ax^2 + bx + c, com a\neq 0.      

1° Caso: a> 0

\Delta > 0                    \Delta=0                     \Delta<0

 

2° Caso: a<0

\Delta > 0                    \Delta=0                     \Delta<0

Exemplo Estude o sinal das seguintes funções: 

a) f(x) = x^2 -8x + 7

f(x) =0

x^2-8x+7=0\Rightarrow x'=1\, \text{ou}x''=7

  • f(x) \geq 0 \rightarrow S = \left \{x \,\epsilon \,\mathbb{R} | x \leq 1 \text{ ou }x \geq 7 \right \}
  • f(x)> 0 \rightarrow S = \left \{x \,\epsilon \,\mathbb{R} | x <1 \text{ ou }x > 7 \right \}
  • f(x)> 0 \rightarrow S = \left \{1;7 \right \}
  •  f(x) < 0 \rightarrow S = \left \{x \,\epsilon \,\mathbb{R} | 1<x<7 \right \}
  • f(x) < 0 \rightarrow S = \left \{x \,\epsilon \,\mathbb{R} | 1\leq x\leq 7 \right \}

b) g(x)=-x^2+4x-4

g(x)=0

-x^2+4x-4=0\Rightarrow x'=x''=2

  • g(x)\geq 0\rightarrow S=\left \{ 2 \right \}
  • g(x)> 0\rightarrow S=\left \{ \,\,\,\, \right \}
  • g(x)= 0\rightarrow S=\left \{ 2 \right \}
  • g(x)< 0\rightarrow S=\mathbb{R}-\left \{ 2 \right \}
  • g(x)\leq 0\rightarrow S=\mathbb{R}


Aplicações

Denomina-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática qualquer função real f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x) = ax^2 + bx + c, com a, b e c reais e a\neq 0.

Atenção:

O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola.

INTERSEÇÃO COM O EIXO DAS ABSCISSAS (Ox)

ax^2+bx+c=0, com a\neq 0
I. Cálculo do discriminante \Delta;

\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c

II. Fórmula Quadrática;

x =\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2\cdot a}

III. Soma e Produto das raízes;

x_1+x_2=-\frac{b}{a}
x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}

IV. Estudo do discriminante \Delta.
\Delta >0: a função possuirá duas raízes reais e distintas (a parábola interceptará o eixo Ox em dois pontos distintos);
\Delta =0: a função possuirá duas raízes reais e iguais (a parábola intercepta o eixo Ox em apenas um ponto);
\Delta <0: a função não possuirá raízes reais (a parábola não intercepta o eixo Ox).

a>0 a<0

Ponto Mínimo \rightarrow V(x_V;y_V)

Valor Mínimo \rightarrow y_V

Ponto Máximo \rightarrow V(x_V;y_V)

Valor Máximo \rightarrow y_V

I. Cálculo do xv:

x_V=\frac{x_1+x_2}{2}    ou    x_V=-\frac{b}{2\cdot a}

II. Cálculo do yv:

y_V=f(x_V)   ou     y_V=-\frac{\Delta }{4\cdot a}

 

IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

a>0 a<0
Im=[y_V;+\infty [ Im=]-\infty;y_V]

EQUAÇÃO DA FUNÇÃO DO 2° GRAU

FORMA \mathbf{(a\neq 0)} NOMENCLATURA
f(x)=ax^2+bx+c GERAL
f(x)=a(x-x_V)^2+y_V CANÔNICA
f(x)=a(x-x')(x-x'') FATORADA