Resumo de matematica: Função do 2° grau

Introdução à Função do 2° grau, Gráfico e Estudo da concavidade

Definição

Denomina-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática qualquer função real $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a$ , $b$ e $c$ reais e $a\neq 0$ .

Assim, são exemplos de funções do 2º grau:

a) $f(x) = 5x^2 - 3x + 8 \rightarrow a = 5, b = - 3\, \text{e }c = 8$

b) $f(x) = 2x^2 - 1 \rightarrow a = 2, b = 0\, \text{e }c = -1$

c) $f(x) = -x^2 \rightarrow a = -1, b = 0\, \text{e }c = 0$

Atenção

O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola.

Exemplo

Determine o conjunto dos possíveis valores de $m$ , para que exista a função do 2° grau $f(x) = (2m + 6)x^2 + 4x - 5$ .

$2m+6\neq 0\rightarrow m\neq -3$

Portanto, $m\,\epsilon \,\mathbb{R}-\left \{ -3 \right \}$

Estudo do coeficiente “a”

O coeficiente $"a"$ da função do 2º grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a\neq 0$ , indicará a concavidade da parábola.

$a>0$	$a<0$

Concavidade voltada para cima	Concavidade voltada para baixo

Exemplo

Determine o conjunto dos possíveis valores de m, para que a função do 2° grau $f(x) = (2m + 6)x^2 + 4x - 5$ tenha a concavidade voltada para cima.

$2m + 6>0\rightarrow m>-3$

Portanto, $S=\left \{ m\,\epsilon \,\mathbb{R} |m>-3 \right \}$

Interseção com os eixos cartesianos

Interseção com o eixo das ordenadas $(Oy)$

O coeficiente $"c"$ , termo independente na função do 2º grau, indicará a ordenada do ponto no qual a parábola interceptará o eixo das ordenadas, ou seja, esse ponto será representado pelo par ordenado $(0; c)$ .

Na família das parábolas com $a > 0$ , por exemplo, temos que os gráficos $I$ , $II$ e $III$ possuem, respectivamente, $c < 0$ , $c = 0$ e $c > 0$ .

Interseção com o eixo das abscissas $(Ox)$

Denominam-se raízes ou zeros da função os valores de $x$ que tornam $f(x) = 0$ . Sendo assim, temos que as raízes ou zeros da função do 2º grau são os valores de $x$ que satisfazem à equação $ax^2 + bx + c = 0$ , com $a\neq 0$ .

Graficamente, as raízes da função indicarão as interseções da parábola com o eixo das abscissas.

Sobre a equação do 2º grau $ax^2 + bx + c = 0$ , com $a \neq 0$ , precisamos lembra de:

I. Cálculo do discriminante $\Delta$ ;

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c$

II. Fórmula Quadrática;

$x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

III. Soma e Produto das raízes (Relações de Girard);

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ; $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

IV. Estudo do discriminante $\Delta$ .

$\Delta >0$ : a função possuirá duas raízes reais e distintas (a parábola interceptará o eixo $Ox$ em dois pontos distintos);

$\Delta =0$ a função possuirá duas raízes reais e iguais (a parábola intercepta o eixo $Ox$ em apenas um ponto);

$\Delta <0$ : a função não possuirá raízes reais (a parábola não intercepta o eixo $Ox$ ).

Estudo do vértice

Extremante

O extremante de uma função do 2º grau é representado por um ponto chamado de Vértice da Parábola.

$a>0$	$a<0$

Sendo assim, temos que as coordenadas do vértice $V(x_V, y_{V})$ poderão ser determinadas das seguintes maneiras:

I. Cálculo do x_v

$x_V=\frac{x_1+x_2}{2}$ ou $x_V=-\frac{b}{2a}$

II. Cálculo do y_v

$y_V=f\left ( x_V \right )$ ou $y_V=-\frac{\Delta }{4a}$

Ex₁: Determine as coordenadas do vértice da função $f (x) = x^2 - 6x + 5$ .

$x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-6)}{2\cdot 1}=3$

$y_V=f\left ( x_V \right )=(3)^2-6\cdot( 3)+5=-4$

Assim, o vértice da função do 2° grau é o ponto de coordenadas $V(3;-4)$

Ex₂: Se o vértice da parábola dada por $f(x) = x^2 - 4x + m$ é o ponto $\left ( x_V,5 \right )$ , então o valor de $\mathbf{m}$ é:

a) 0

b) 5

c) – 5

d) 9

e) – 9

Resolução - d

$-\frac{\Delta }{4a}$

$-\left ( b^2-4ac \right )=20a$

$-\left [\left ( -4 \right )^2-4\cdot 1\cdot m \right ]=20\cdot 1$

$-16+4m=20$

$4m=36$

$m=9$

Atenção:

A função do 2° grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com a ≠ 0, poderá ser escrita com as coordenadas do vértice $V(x_V, y_{V})$ pela forma canônica $f(x) = a(x - x_V)^2 + y_V$

Exemplo

Escreva a função $f (x) = x^2- 6x + 5$ na forma canônica.

A forma canônica é dada por $f(x) = a(x - x_V)^2 + y_V$

$x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-6)}{2\cdot 1}=3$

$y_V=f\left ( x_V \right )=(3)^2-6\cdot (3)+5=-4$

Assim, a função na forma canônica está expressa por $f(x) = a(x - 3)^2 - 4$ .

Características do vértice

EXTREMANTE

O extremante de uma função do 2º grau é representado por um ponto chamado de Vértice da Parábola. Esse ponto poderá ser máximo $(a<0)$ ou mínimo $(a>0)$ .

$a>0$	$a<0$

Ponto Mínimo $\rightarrow V(x_V;y_V)$ Valor Mínimo $\rightarrow y_V$	Ponto Máximo $\rightarrow V(x_V;y_V)$ Valor Máximo $\rightarrow y_V$

IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

$a>0\rightarrow Im=[y_V;+\infty [$

$a<0\rightarrow Im=]+\infty ; y_V]$

VARIAÇÃO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU

I. $a>0$

Crescente: $[x_V;+\infty [$

Decrescente: $]-\infty;x_V]$

II. $a < 0$

Crescente: $]-\infty;x_V]$

Decrescente: $[x_V;+\infty [$

Aplicações

01. O intervalo real para que a função $f(x) = x^2 - 8x + 7$ seja crescente é:

a) $\left \{ x\, \epsilon\,\mathbb{R}/x\geq 4 \right \}$
b) $\left \{ x\, \epsilon\,\mathbb{R}/x\leq 4 \right \}$
c) $\left \{ x\, \epsilon\,\mathbb{R}/x\geq 8 \right \}$
d) $\left \{ x\, \epsilon\,\mathbb{R}/x\leq 8 \right \}$
e) $\left \{ x\, \epsilon\,\mathbb{R}/1\leq x\leq 4 \right \}$

Resolução – a

Sendo o coeficiente $a=1$ , temos que a concavidade estará voltada para cima e o crescimento acontecerá no intervalo $x\geq x_V$ .
Sendo $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{(-8)}{2\cdot 1}=4$ , logo o intervalo de crescimento será em $x\geq 4$ .

02. (PUC - RJ) Um vendedor de picolés verificou que a quantidade diária de picolés vendidos $(y)$ varia de acordo com o preço unitário de venda $(p)$ , conforme a lei $y=90-20p$ . Seja $P$ o preço pelo qual o picolé deve ser vendido para que a receita seja máxima.
Assinale o valor de $P$ .

a) R$ 2,25
b) R$ 3,25
c) R$ 4,25
d) R$ 5,25
e) R$ 6,25

Resolução – a
A receita é calcula da pela relação:
Receita = (Preço de venda) x (Quantidade)
Sendo assim, temos que $R = p \cdot (90 - 20p) \Rightarrow R = -20p^2 + 90p$
Portanto, para que a receita seja máxima, o valor de p deverá ser $-\frac{b}{2a}=-\frac{90}{2(-20)}=2,25$

03. A imagem da função $f(x) = x^2 - 6x + 10$ é o conjunto:

a) $\left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/y\geq 0 \right \}$
b) $\left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/y\geq 1 \right \}$
c) $\left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/y\geq 2 \right \}$
d) $\left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/y\leq 2 \right \}$
e) $\left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/1\leq y\leq 2 \right \}$

Resolução – b

Sendo o coeficiente $a=1$ , temos que a concavidade estará voltada para cima e a imagem acontecerá no intervalo $y\geq y_V$ .

Assim,
$y_V=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{b^2-4\cdot a\cdot b}{4\cdot a}=-\frac{(-6)^2-4\cdot 1\cdot 10}{4\cdot 1}=-\frac{-4}{4}=1$

Portanto, a imagem é o conjunto $\left \{ y\, \epsilon\,\mathbb{R}/y\geq 1 \right \}$ .

Estudo do Sinal

Consideremos a função real $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a\neq 0$ .

1° Caso: $a> 0$

$\Delta > 0$ $\Delta=0$ $\Delta<0$

2° Caso: $a<0$

$\Delta > 0$ $\Delta=0$ $\Delta<0$

Exemplo Estude o sinal das seguintes funções:

a) $f(x) = x^2 -8x + 7$

$f(x) =0$

$x^2-8x+7=0\Rightarrow x'=1\, \text{ou}x''=7$

$f(x) \geq 0 \rightarrow S = \left \{x \,\epsilon \,\mathbb{R} | x \leq 1 \text{ ou }x \geq 7 \right \}$
$f(x)> 0 \rightarrow S = \left \{x \,\epsilon \,\mathbb{R} | x <1 \text{ ou }x > 7 \right \}$
$f(x)> 0 \rightarrow S = \left \{1;7 \right \}$
$f(x) < 0 \rightarrow S = \left \{x \,\epsilon \,\mathbb{R} | 1<x<7 \right \}$
$f(x) < 0 \rightarrow S = \left \{x \,\epsilon \,\mathbb{R} | 1\leq x\leq 7 \right \}$

b) $g(x)=-x^2+4x-4$

$g(x)=0$

$-x^2+4x-4=0\Rightarrow x'=x''=2$

$g(x)\geq 0\rightarrow S=\left \{ 2 \right \}$
$g(x)> 0\rightarrow S=\left \{ \,\,\,\, \right \}$
$g(x)= 0\rightarrow S=\left \{ 2 \right \}$
$g(x)< 0\rightarrow S=\mathbb{R}-\left \{ 2 \right \}$
$g(x)\leq 0\rightarrow S=\mathbb{R}$

Aplicações

Denomina-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática qualquer função real $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a$ , $b$ e $c$ reais e $a\neq 0$ .

Atenção:

O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola.

INTERSEÇÃO COM O EIXO DAS ABSCISSAS $(Ox)$

$ax^2+bx+c=0$ , com $a\neq 0$
I. Cálculo do discriminante $\Delta$ ;

$\Delta =b^2-4\cdot a\cdot c$

II. Fórmula Quadrática;

$x =\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2\cdot a}$

III. Soma e Produto das raízes;

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

IV. Estudo do discriminante $\Delta$ .
$\Delta >0$ : a função possuirá duas raízes reais e distintas (a parábola interceptará o eixo $Ox$ em dois pontos distintos);
$\Delta =0$ : a função possuirá duas raízes reais e iguais (a parábola intercepta o eixo $Ox$ em apenas um ponto);
$\Delta <0$ : a função não possuirá raízes reais (a parábola não intercepta o eixo $Ox$ ).

$a>0$

$a<0$

Ponto Mínimo $\rightarrow V(x_V;y_V)$

Valor Mínimo $\rightarrow y_V$

Ponto Máximo $\rightarrow V(x_V;y_V)$

Valor Máximo $\rightarrow y_V$

I. Cálculo do x_v:

$x_V=\frac{x_1+x_2}{2}$ ou $x_V=-\frac{b}{2\cdot a}$