Resumo de matematica: Estudo dos Logaritmos I



DEFINIÇÃO

Sendo a e b números reais e positivos, com b \neq 1, chama-se de logaritmo de a na base b o expoente x, ao qual se deve elevar a base b, de modo que a potência b^x seja igual à base a.

\large log_{b}a=x\Leftrightarrow {b}^{x} =a

Na expressão log_ba=x, temos:

  • a: logaritmando;

  • b: base;

  • x: logaritmo.

Exemplos

a) log_{2}16=4, pois 2^4 = 16;

b) log_{3}27=3, pois 3^3 = 27.

 

Atenção

A condição de existência para que esteja definido

log_ba=x é a > 0 e 0 < b \neq 1.

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Dada a definição de logaritmo e suas condições de existência, temos as seguintes consequências da definição:

  • O logaritmo de 1 em qualquer base b é igual a 0;

 log_b1=0

  • O logaritmo da base, para qualquer valor, é igual a 1;

log_bb=1

  • A potência de base b e expoente log_ba é igual à a;

b^{log_ba}=a

  • O logaritmo da potência b^n na base b é igual a n;

log_bb=n

  • Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos são iguais.

log_ba= log_bc\Leftrightarrow a=c

 

SISTEMAS DE LOGARITMOS 

O conjunto formado por todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base b (0 < b \neq 1) é chamado sistema de logaritmos na base b. 
Existem infinitos sistemas de logaritmos, mas os mais utilizados são os decimais e neperianos.

 

  • Sistema de logaritmos decimais

Esse sistema foi desenvolvido pelo matemático inglês Henry Briggs (1561 – 1630), o primeiro a destacar as vantagens dos logaritmos de base 10 como instrumento auxiliar dos cálculos numéricos.

log_{10}a=log\ a, a>0

  • Sistema de logaritmos naturais (ou neperianos)

O responsável pelo desenvolvimento desse sistema foi o matemático escocês Jonh Napier (1550 – 1617) de onde deriva o nome do sistema. Napier foi o autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos.

log_ea=ln\ a, a>0

O número irracional e

Quem, efetivamente, calculou o número e foi Leonhard Euler. Dizem que a designação decorre da inicial de seu sobrenome, mas também existe a versão de que o e se deve à inicial de “exponencial”.
O número e é conhecido como número neperiano, uma referência à Napier, e tem o valor de 2,7182818284590....

 

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

As propriedades logarítmicas foram desenvolvidas com o intuito de tornar os cálculos envolvendo logaritmos mais fáceis. 
 

  • Logaritmo de um produto 

O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, tomados na mesma base;
 

log_b\,(a\cdot c)=log_b\,a+log_b\,c

  •  Logaritmo de quociente

O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor, tomados na mesma base;

log_b\,(a/c)=log_b\,a-log_b\,c

  • Logaritmo de uma potência

O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

log_b\,a^n=n\cdot log_b\,a

Exemplos
1) Usando as propriedades de logaritmos, desenvolva o valor de log_5\,\frac{\sqrt[3]{x^2}}{y}, para y\neq 0.

log_5\,\frac{\sqrt[3]{x^2}}{y}=log_5\,\sqrt[3]{x^2}-log_5\,y

log_5\,\frac{\sqrt[3]{x^2}}{y}=log_5\,x^{\frac{2}{3}}-log_5\,y
log_5\,\frac{\sqrt[3]{x^2}}{y}=\frac{2}{3}log_5\,x-log_5\,y

2) Usando as propriedades de logaritmos, simplifique o valor de 2log_2\, a + 3 - 3log_2\, b.

2\cdot log_2\, a + 3 - 3log_2\, b = log_2 \,a^2 + 3\cdot log_2\, 2 - log_2\, b^3
2\cdot log_2\, a + 3 - 3log_2\, b = log_2 \,a^2 + log_2\, 2^3 - log_2\, b^3
2\cdot log_2\, a + 3 - 3log_2\, b = log_2 \,\left ( \frac{8a^2}{b^3} \right )

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 
 

As propriedades logarítmicas foram desenvolvidas com o intuito de tornar os cálculos envolvendo logaritmos mais fáceis. 

Nome Regra Simbólica
Logaritmo de um produto O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, tomados na mesma base; log_b\,(a\cdot c)=log_b\,a+log_b\,c
Logaritmo de quociente O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor, tomados na mesma base; log_b\,(a/c)=log_b\,a-log_b\,c
Logaritmo de uma potência O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. log_b\,a^n=n\cdot log_b\,a


 Exemplos
Sendo log\, 2 = 0,30 e log\, 3 = 0,47, calcule o valor de:

a) log\, 0,6 = log\,\frac{6}{10} 
                 = log\,(2\cdot 3)-log\,10 
                 = log\,(2)+log\,(3)-log\,10
                 =0,30 + 0,47 - 1 
                 =- 0,23


b) log\, 2500 = log\, (5^2 \cdot 10^2)
                   =log 5^2 + log 10^2
                   =2log 5 + 2
                   =2\cdot (1 - log 2) + 2
                   =2\cdot (1 - 0,30) + 2
                   =2\cdot 0,70 + 2
                   =3,4