Resumo de matematica: Matrizes e Determinantes (Matrizes)



Conceitos Iniciais e Matrizes Especiais

Para a construção de uma matriz, é dado sempre uma “fórmula” na qual encontraremos o valor numérico (ou algébrico) de cada termo, em função da posição deste termo, ou seja, em função da linha e da coluna às quais pertencem. Por exemplo, para construir a matriz 


A=(a_{ij})_{3x2}, tal que a_{ij}=2i-j,

devemos utilizar a relação a_{ij}=2i-j para encontrarmos cada termo da matriz. Como a matriz tem ordem (3 x 2), ou seja, 3 linhas e 2 colunas, podemos representá-la por:


A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \\ a_{31}& a_{32} \end{bmatrix}

Basta agora calcularmos cada termo utilizando a “fórmula” dada no problema. Com isso, chegamos a:

A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3&2 \\ 5& 4 \end{bmatrix}.

 

Matriz Transposta e Operações com Matrizes

Enquanto que as operações entre números possuem pouquíssimas restrições, as mesmas operações entre matrizes é muito mais complexas, nem sempre sendo possível realizar adição, subtração ou multiplicação entre duas matrizes. No caso da adição e subtração entre matrizes, elas devem ter a mesma ordem e a operação é realizada entre termos correspondentes, ou seja, primeiro com primeiro, segundo com segundo, e assim por diante. 


No caso da multiplicação, é ainda mais complexo, de maneira que, para que seja possível a multiplicação entre duas matrizes, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. Um fato muito importante é que NÃO existe divisão entre matrizes. 
 

Propriedades de matrizes. PARTE 1 (Matrizes Inversas)

Como não existe divisão entre matrizes, utilizamos a matriz inversa para resolver equações do tipo A\cdot X=B, na qual A e B são matrizes conhecidas e X é a matriz que estamos à procura.  E como este processo é realizado? Vamos lá:
Seja A^{-1} a matriz inversa da matriz A. Temos:


A \cdot X=B,

na qual vamos multiplicar pela esquerda (isto é muito importante pois a propriedade comutativa não é válida para multiplicação de matrizes) por A^{-1},


A^{-1} \cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B,

e como sabemos que A^{-1}\cdot A =I, obtemos 

I\cdot X=A^{-1} \cdot B

e, consequentemente, chegamos a 

X=A^{-1}\cdot B,

Pois a matriz identidade é o elemento neutro na multiplicação de matrizes. Com isso, concluímos que, para encontrarmos X basta multiplicarmos a inversa de A pela matriz B. 

 

Propriedades de matrizes. PARTE 2 (Matrizes: Exercícios Resolvidos)

Em alguns problemas é necessário construir as matrizes antes de realizar as operações. Vejamos um exemplo:

Determine A\cdot B, sendo A= (a_{ij})_{2x2}, na qual a_{ij}=i^j, e B= (b_{ij})_{2x2}, na qual b_{ij}=3i-2j.

Primeiro precisamos construir as matrizes:

A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1^1 & 1^2\\ 2^1 & 2^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 & 4 \end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\cdot1-2\cdot1 & 3\cdot1-2\cdot2\\ 3\cdot3-2\cdot1& 3\cdot2-2\cdot2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 4 & 2 \end{bmatrix}

Basta agora multiplicarmos:

\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 &4 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 4& 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 1\\ 18 & 6 \end{bmatrix}