Resumo de matematica: Polinômios

Definição. Equações polinomiais. Identidades polinomiais. Operações entre polinômios: Adição, subtração, multiplicação. PARTE 1(Conceitos Iniciais - Operações)

Definimos polinômio na variável complexa “x” toda expressão escrita na forma

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_2x^2+a_1x+a_0$

Em que:

a $a_n,a_{n-1},\cdots,a_2,a_1,a_0$ são números complexos denominados coeficientes;
$"n"$ é um número natural;
grau do polinômio é o maior expoente de $"x"$ com coeficiente não nulo.

A operação de adição e subtração polinomial é muito simples, basta somarmos ou subtrairmos apenas os termos semelhantes, ou seja, os termos que possuem expoentes iguais de $"x"$ , por exemplo, $\left ( x^2+3x-5 \right )+\left ( x^2-2x+3 \right )=2x^2+x-2$ .
A operação de multiplicação de polinômios é realizada utilizando a propriedade distributiva, ou seja, multiplicamos todos os termos de um polinômio por todos os termos do outro polinômio, por exemplo, $\left ( 2x-1 \right )\cdot \left (x+3 \right )=2x^2+6x-x-3=2x^2+5x-3$ .

Definição. Equações polinomiais. Identidades polinomiais. Operações entre polinômios: Adição, subtração, multiplicação. PARTE 2 (Divisão - Método das Chaves)

A divisão mais tradicional de polinômios, estudada também no ensino fundamental, é chamada de método das chaves e lembra muito o dispositivo utilizado para divisão de números naturais. Quando dividimos um polinômio $P(x)$ (dividendo) por um polinômio $d(x)$ (divisor), encontramos um quociente $Q(x)$ e um resto $R(x)$ . A relação direta entre esses quatro polinômios pode ser representada pela Equação de Euclides:

$P(x)=d(x)\cdot Q(x)+R(x)$ .

Por exemplo, na divisão de $P(x)=x^2-x+1$ por $d(x)=x-2$ , obtemos quociente $Q(x)=x+1$ e resto $R(x)=3$ . Podemos verificar estes resultados usando a Equação de Euclides:

$P(x)=d(x)\cdot Q(x)+R(x)$
$P(x)=(x-2)\cdot (x+1)+3$
$P(x)=x^2+x-2x-2+3$
$P(x)=x^2-x+1$

Divisão de um polinômio por um binômio do primeiro grau na chave. Método de Rufini. PARTE 1 (Divisão por (x - a))

O método tradicional de divisão polinomial, o método das chaves, é muito complexo e demorado. Mas quando o divisor é um polinômio do tipo (x-a), podemos utilizar o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Neste método separamos os coeficientes do dividendo e a raiz do divisor a. Por exemplo, na divisão de $P(x)=x^3-x^2+2x+5$ por $d(x)=x-2$ , vejamos como fica essa separação dos coeficientes:

Veja que a raiz do divisor ficou em uma casa em destaque e os coeficientes do dividendo nas demais casas da primeira linha, todos em ordem. O processo agora consiste em uma sequência de passos:
1º) Descemos o 1º coeficiente do dividendo para a 2ª linha:

2º) Multiplicamos a raiz (2) pelo número que descemos no passo anterior, somamos ao próximo coeficiente do dividendo e descemos o resultado para a 2ª linha $2\cdot 1+(-1)=1$ :

3º) Repetimos o 2º passo, até chegarmos ao último coeficiente do dividendo: $2\cdot 1+2=4$ :

$2\cdot 4+5=13$ :

Assim, a divisão foi concluída, sendo que na 2ª linha temos o resto dessa divisão que é o número na última casa $(R(x)=13)$ e as demais compõem o quociente com um grau menor que o grau do dividendo $(Q(x)=x^2+x+4)$ .

Divisão de um polinômio por um binômio do primeiro grau na chave. Método de Rufini. PARTE 2 (Exercícios Resolvidos)

Já sabemos sobre a dificuldade na divisão polinomial pelo método das chaves e conhecemos também um dispositivo que facilita essa divisão para alguns casos, chamado de dispositivo prático de Briot-Ruffini. Existe ainda um teorema importante para divisão polinomial, em casos nos quais o divisor é de grau 1, que nos ajuda a encontrar o resto da divisão chamado de Teorema de D’Alembert.
Vamos dividir $P(x)$ por $d(x)=ax+b$ , supondo que o quociente seja $Q(x)$ e o resto seja $R(x)$ . Pela Equação de Euclides, temos:

$P(x)=(ax+b)\cdot Q(x)+R(x)$

Substituindo, na equação acima, $x$ por $-\frac{b}{a}$ , que é a raiz do divisor, obtemos:

$P\left (-\frac{b}{a} \right )=\left ( a\left ( -\frac{b}{a} \right )+b \right )\cdot Q\left ( -\frac{b}{a} \right )+R\left ( -\frac{b}{a} \right )$
$P\left (-\frac{b}{a} \right )=\left ( \left ( -b \right )+b \right )\cdot Q\left ( -\frac{b}{a} \right )+R\left ( -\frac{b}{a} \right )$
$P\left (-\frac{b}{a} \right )=0\cdot Q\left ( -\frac{b}{a} \right )+R\left ( -\frac{b}{a} \right )$
$P\left (-\frac{b}{a} \right )=R\left ( -\frac{b}{a} \right )$

Como o divisor é de grau 1, o resto é uma constante, ou seja, o resto

$R=P\left ( -\frac{b}{a} \right )$

Por exemplo, na divisão de $P(x)=x^3+x^2-2x+1$ por $d(x)=x+2$ , o resto, pelo Teorema de D’Alembert, é:

$R=P(-2)=(-2)^ 3+(-2)^2-2(-2)+1=-8+4+4+1=1$ .

Divisão de um polinômio por outro polinômio de grau maior que 1 - na chave. (Teorema do Fator)

Se $"k"$ é uma raiz de um polinômio $P(x)$ , então $(x-k)$ é um fator de $P(x)$ .
Dividindo $P(x)$ por dx=x-k, resultando em um quociente $Q(x)$ e resto $R(x)$ , que é zero, já que $"k"$ é raiz. Assim, temos:

$P(x)=(x-k)\cdot Q(x)+R(x)=(x-k)Q(x)$ ,

ou seja, $(x-k)$ é fator de $P(x)$ .
De forma análoga, temos que, se $(x-k)$ é fator de $P(x)$ , então $"k"$ é raiz de $P(x)$ .
Por exemplo, se $x=3$ é raiz de $P(x)=x^2-2x-3$ , então, $(x-3)$ é fator de $P(x)$ , o que é fato, pois $P(x)=(x-3)(x+1)$ .

Teorema do Resto (Exercícios Resolvidos)

Na divisão de um polinômio $P(x)$ por um polinômio do tipo $(x-k)(x-q)$ , o resto é do tipo $R(x)=ax+b$ , de grau no máximo 1, já que o divisor é de grau 2. Com isso, para a determinação deste resto, podemos utilizar duas vezes o Teorema de D’Alembert com as raízes do divisor $"k"$ e $"q"$ . Assim, temos