Resumo de matematica: Produto notável

Produtos notáveis

Por: Aline Ribeiro

Produtos notáveis: São ferramentas para nos ajudar a fazer menos contas e poupar tempo na hora de resolver exercícios. Nesse módulo será mostrado

três produtos notáveis.

1. Quadrados perfeitos: Tome (a + b)², sabemos que essa expressão pode ser escrita como:

(a + b)² = (a + b).(a + b)

Usando a propriedade distributiva, temos:

(a + b)² = a.a + a.b + b.a + b.b

Reordenando os termos:

(a + b)² = a² +2.a.b + b²

Podemos ilustrar essa propriedade geometricamente:

Estamos interessados em saber a área dessa figura. Sabemos que a área será o tamanho da base vezes a altura, então:

A = (a + b)²

Outra maneira de representar a área desse quadrado é somando as áreas dos dois retângulos e dos dois quadrado de dentro, então:

A= a² + a.b + a.b + b² = a² + 2.a.b + b²

Como a área é a mesma, podemos concluir que:

(a + b)² = a² + 2.a.b + b²

Que é exatamente o nosso produto notável.

Para (a - b)² o processo é o mesmo e temos:

(a + b)² = a² - 2.a.b + b²

Exemplo 1: Defina $\left ( x^{2}y -3y \right )^{2}$ .

Sabemos que essa expressão é um quadrado perfeito, então usando o produto notável temos:

$\left ( x^{2}y -3y \right )^{2}=\left ( x^{2}y \right )^{2}-2x^{2}y.3y+\left ( 3y \right )^{2}$

$\left ( x^{2}y -3y \right )^{2}= x^{4}y^{2}-6\ x^{2}y^{2}+9y^{2}$

Exemplo 2: Defina $\left ( \frac{1}{xy}+\frac{x}{y} \right )^{2}$ .

Sabemos que essa expressão é um quadrado perfeito, então usando o produto notável temos:

$\left ( \frac{1}{xy}+\frac{x}{y} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{xy} \right )^{2}+2\cdot \frac{1}{xy}\cdot \frac{x}{y} +\left ( \frac{x}{y} \right )^{2}$

$\left ( \frac{1}{xy}+\frac{x}{y} \right )^{2}=\frac{1}{x^{2}y^{2}} +\frac{2x}{xy^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}$

2. Diferença de quadrados: Tome a diferença de dois quadrados a² - b², podemos fazer uma pequena manipulação sem alterar a expressão:

a² - b² = a² - b² + a.b - a.b

Fatorando por agrupamento, temos:

a² - b² = a² + a.b - b² - a.b

a² - b² = a.(a + b) - b.(b + a)

a² - b² = (a + b).(a - b)

Observação: A diferença de dois quadrados é um dos produtos notáveis mais utilizados. E ele só é válido para a diferença.

$a^{2}+b^{2}\neq \left ( a+b \right )\cdot \left ( a-b \right )$

Exemplo 1: Fatore 4k² - 916.

Temos uma diferença de quadrados, então:

4k² - 916 = (2k +34 ).(2k - 34)

Exemplo 2: Calcule o valor de 1001² - 999².

Como essa expressão é uma diferença de quadrados, então:

1001² - 999² = (1001 + 999).(1001 - 999)

1001² - 999² = 2000.2 = 4000

3. Cubo perfeito: Tome (a + b)³, sabemos que essa expressão pode ser escrita como:

(a + b)³ = (a + b).(a + b)²

Usando o produto notável do quadrado perfeito, temos:

(a + b)³ = (a + b).(a² + 2.a.b + b²)

Fazendo a distributiva:

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Para (a - b)³ o processo é o mesmo e temos:

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Exemplo 1: Defina (2x + 4)³.

Como a expressão é um cubo perfeito, temos:

(2x + 4)³ = (2x)³ + 3(2x)²4 + 3.2x(4)² + 4³

(2x + 4)³ = 8x³ + 48x² + 96.x + 64

Exemplo 2: Defina (2x - y)³.

Como a expressão é um cubo perfeito, temos:

(2x - y)³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3.2x(y)² - y³

(2x -y)³ = 8x³ - 12x²y + 6.x.y² - y³