Resumo de matematica: Resumo de Matemática - Estatística - Parte 2

Média Ponderada

Imagine a seguinte situação: Em um determinado concurso, cada disciplina tem peso diferente, conforme a seguir:

Essa situação é bem comum em Vestibulares e Concursos. Certo! E vamos supor que alguém tenha feito esse concurso e tenha tirado as seguintes notas em cada matéria:

Vamos responder à pergunta do Exemplo 1 a seguir:

Exemplo 1: Dado que as matérias têm pesos diferentes entre si, qual a média dessa pessoa no concurso?

Vimos que para calcular a Média Aritmética, bastava somar todos os valores e dividir pelo número de valores.

No caso da Média Ponderada (do latim pendere – “pesar”), considera-se pesos diferentes para cada valor da grandeza que estamos trabalhando – nesse caso, as notas de cada disciplina do concurso.

Definição Formal

Define-se Média Ponderada como a soma dos produtos dos valores quantitativos de uma determinada característica de uma determinada amostra, pelos respectivos pesos que cada um desses valores possuem.

Expressando em formato matemático, temos:

MP = $\frac{\left ( x_{1}*p_{1}+x_{2}*p_{2}+x_{3}*p_{3}+...+x_{n}*p_{n} \right )}{p_{1}+p_{2}+p_{3}+...+p_{n}}$

Onde:

MP ⇒ Média Ponderada
$x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n}$ ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
$p_{1},p_{2},p_{3}...p_{n}$ ⇒ pesos para cada valor quantitativo
n ⇒ número de elementos na amostra

Aplicando a definição ao Exemplo 1, temos:

$MP=\frac{\left (6,0*3+7,0*3+8,0*2+9,0*1 \right )}{3+3+2+1}$

$MP = \frac{\left (18+21+16+9 \right )}{9} = \frac{64}{9}$ ⇒ MP = 7,11

Onde:

(6,0 ; 7,0 ; 8,0 ; 9,0) ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra (notas em cada matéria)
(3 ; 3 ; 2 ; 1) ⇒ pesos para cada valor quantitativo

Com isso, sabe-se então que a média da pessoa no concurso foi 7,11. Correto?

Média Geométrica

A Definição de Média Geométrica é a raiz n-ésima do produto dos valores quantitativos de alguma característica da amostra em estudo.

Matematicamente temos que: $\mathbf{\mathit{\mathbf{MG }}}= \sqrt[n]{\left (x_{1}*x_{2}*x_{3}*...*x_{n} \right )}$

Onde:

MG ⇒ Média Geométrica
$x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n}$ ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
n ⇒ número de elementos na amostra

Calma! Parece complicado mas não é não. Vamos fazer alguns exemplos:

Exemplo 3: Qual a média geométrica entre 3 e 27?

Temos 2 números, portanto n = 2. Então, $\mathit{MG }= \sqrt[2]{3*27} = \sqrt[2]{81}$ ⇒ MG = 9

Exemplo 4: Qual a média geométrica entre 2, 5 e 6,4?

Temos 3 números, portanto n = 3. Então, $\mathit{MG }= \sqrt[3]{2*5*6,4} = \sqrt[3]{64}$ ⇒ MG = 4

Pergunta 3: Como exercício, faça a média aritmética dos valores dos exemplos 3 e 4 e compare!

Média Harmônica

A Média Harmônica é definida como a fração do número de elementos (n) de uma dada amostra dividido pela soma dos inversos dos valores quantitativos da amostra. Matematicamente fica:

$\mathbf{\mathit{MH }}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+...+\frac{1}{x_{n}}}$

Onde:

MH ⇒ Média Harmônica
$x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n}$ ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
n ⇒ número de elementos na amostra

Vamos fazer alguns exemplos pra ficar claro!

Exemplo 5: Qual a média harmônica entre 3 e 6?

Temos 2 números, portanto n = 2. Então, $\mathbf{\mathit{MH }}= \frac{2}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{2}{6}+\frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{3}{6}} = \frac{2}{1}*\frac{6}{3} = \frac{12}{3}$ ⇒MH = 4

Exemplo 6: Qual a média harmônica entre 2, 4 e 8?

Temos 3 números, portanto n = 3. Então, $\mathbf{\mathit{MH }}= \frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}} = \frac{3}{\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}} = \frac{3}{\frac{7}{8}} = \frac{3}{1}*\frac{8}{7} = \frac{24}{7}$ ⇒MH = 3,43

Pergunta 4: Como exercício, faça a média aritmética dos valores dos exemplos 5 e 6 e compare!