Resumo de matematica: Número Binomiais II



Triângulo Aritmético

O Triângulo de Pascal é formado pelos números binomiais organizados em linhas e colunas, numa disposição triangular, de tal forma que em cada linha fiquem os de mesmo número de elementos (mesmo numerador) e em cada coluna os de mesma taxa (denominador).

- - C_o C_1 C_2 C_3 C_4 ... C_n
L_0 \rightarrow \binom{0}{0}            
L_1 \rightarrow \binom{1}{0} \binom{1}{1}          
L_2 \rightarrow \binom{2}{0} \binom{2}{1} \binom{2}{2}        
L_3 \rightarrow \binom{3}{0} \binom{3}{1} \binom{3}{2} \binom{3}{3}      
L_4 \rightarrow \binom{4}{0} \binom{4}{1} \binom{4}{2} \binom{4}{3} \binom{4}{4}    
\vdots \ddots ... ... ... ... ... ... ...
L_n \rightarrow \binom{n}{0} \binom{n}{1} \binom{n}{2} \binom{n}{3} \binom{n}{4} ... \binom{n}{n}

Escrevendo o Triângulo Aritmético como combinações simples, temos:
 

- - C_o C_1 C_2 C_3 C_4 ... C_n
L_0 \rightarrow C_0^0            
L_1 \rightarrow C_1^0 C_1^1          
L_2 \rightarrow C_2^0 C_2^1 C_2^2        
L_3 \rightarrow C_3^0 C_3^1 C_3^2 C_3^3      
L_4 \rightarrow C_4^0 C_4^1 C_4^2 C_4^3 C_4^4    
\vdots \ddots ... ... ... ... ... ... ...
L_n \rightarrow C_n^0 C_n^1 C_n^2 C_n^3 C_n^4 \cdots C_n^n

Desenvolvendo os números binomiais e substituindo por seus valores, obtemos:
 

- - C_o C_1 C_2 C_3 C_4 ...  
L_0 \rightarrow 1            
L_1 \rightarrow 1 1          
L_2 \rightarrow 1 2 1        
L_3 \rightarrow 1 3 3 1      
L_4 \rightarrow 1 4 6 4 1    
\vdots \ddots ... ... ... ... ... ...  

LEMBRAR

  • \binom{n}{0}=1\,\forall \,x\,\epsilon \,\mathbb{N}
  • \binom{n}{1}=n\,\forall \,x\,\epsilon \,\mathbb{N}^*
  • \binom{n}{n}=1\,\forall \,x\,\epsilon \,\mathbb{N}
  • \binom{n}{p}=\binom{n}{q}\Rightarrow p=q\, \text{ou}\,p+q=n

 

Propriedades do Triângulo I

- - C_o C_1 C_2 C_3 C_4 ... C_n
L_0 \rightarrow \binom{0}{0}            
L_1 \rightarrow \binom{1}{0} \binom{1}{1}          
L_2 \rightarrow \binom{2}{0} \binom{2}{1} \binom{2}{2}        
L_3 \rightarrow \binom{3}{0} \binom{3}{1} \binom{3}{2} \binom{3}{3}      
L_4 \rightarrow \binom{4}{0} \binom{4}{1} \binom{4}{2} \binom{4}{3} \binom{4}{4}    
\vdots \ddots ... ... ... ... ... ... ...
L_n \rightarrow \binom{n}{0} \binom{n}{1} \binom{n}{2} \binom{n}{3} \binom{n}{4} ... \binom{n}{n}

Propriedade 1
O 1º e o último termos de qualquer linha no Triângulo Aritmético será sempre igual a 1.

Propriedade 2
A quantidade de elementos de cada linha n no Triângulo Aritmético será sempre igual a n + 1.

Propriedade 3
Em cada linha, os números equidistantes dos extremos são iguais e a soma de seus denominadores é igual ao número da linha.

Propriedade 4
A soma de dois números binomiais consecutivos de uma mesma linha será igual ao número binomial da linha seguinte mantendo o valor do maior denominador. (Relação de Stifel)
 

Propriedades do Triângulo II

- - C_o C_1 C_2 C_3 C_4 ... C_n
L_0 \rightarrow \binom{0}{0}            
L_1 \rightarrow \binom{1}{0} \binom{1}{1}          
L_2 \rightarrow \binom{2}{0} \binom{2}{1} \binom{2}{2}        
L_3 \rightarrow \binom{3}{0} \binom{3}{1} \binom{3}{2} \binom{3}{3}      
L_4 \rightarrow \binom{4}{0} \binom{4}{1} \binom{4}{2} \binom{4}{3} \binom{4}{4}    
\vdots \ddots ... ... ... ... ... ... ...
L_n \rightarrow \binom{n}{0} \binom{n}{1} \binom{n}{2} \binom{n}{3} \binom{n}{4} ... \binom{n}{n}

 

Propriedade 5 – Soma de todos os termos de uma linha
A soma de todos os números binomiais de uma linha n qualquer do Triângulo Aritmético é igual a 2^n.

Soma dos termos da linha n\rightarrow \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots +\binom{n}{n}=2^n

Exemplo

\binom{6}{0}+\binom{6}{1}+\binom{6}{2}+\binom{6}{3}+\binom{6}{4}+\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=2^6=64

Propriedade 6 – Soma dos termos de uma coluna 
A soma dos números binomiais de uma coluna p, desde o primeiro elemento até o elemento da linha n, é igual ao número binomial localizado na linha abaixo (n+1), e coluna seguinte (p+1).

\binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}+\cdots +\binom{p+n}{p}=\binom{p+n+1}{p+1}

Exemplo

\binom{2}{3}+\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+\binom{5}{2}+\binom{6}{2}=\binom{7}{3}


Propriedade 7 – Soma dos termos de uma diagonal 
A soma dos números binomiais de uma diagonal qualquer do Triângulo Aritmético, desde o elemento da coluna 0 e da linha n até o elemento da coluna p e da linha n+p, é igual ao número binomial imediatamente abaixo dele.

\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots +\binom{n+p}{p}=\binom{n+p+1}{p}

Exemplo

\binom{6}{0}+\binom{6}{1}+\binom{6}{2}+\binom{6}{3}=\binom{7}{3} 
 

Aplicações

OBS 1: \binom{n}{p}=\binom{n}{q}\Rightarrow p=q\, \text{ou}\,p+q=n\rightarrow Números Binomiais Complementares

\binom{n}{k+1}=\frac{n-k}{k+1}\binom{n}{k}\rightarrow Relação de Fermat

\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\rightarrow Relação de Stifel

\binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}+\binom{p+2}{p}++\binom{p+n}{p}=\binom{p+n+1}{p+1}\rightarrow Soma dos termos de uma coluna


OBS 2: As potências de 1,1 (aumento de 10%) podem ser encontradas no Triângulo Aritmético com algumas considerações.
 

1,1^0 \rightarrow 1        
1,1^1 \rightarrow 1 1      
1,1^2 \rightarrow 1 2 1    
1,1^3 \rightarrow 1 3 3 1  
1,1^4 \rightarrow 1 4 6 4 1