Como ir bem na prova objetiva de matemática da FUVEST?

Quanto mais concorrido é um processo seletivo, maior é o tempo de estudo necessário para chegar ao nível exigido pela prova. Esse é o desafio de quem quer passar na USP. Nesse aspecto, a Matemática da Fuvest costuma ser um dos aspectos mais temidos pelos estudantes. As questões dessa disciplina não deixam a desejar no quesito dificuldade. À primeira vista, isso pode até parecer uma notícia ruim. Porém, se essa parte da prova for bem aproveitada, ela se transformará em um diferencial para a sua aprovação.

Confira as últimas provas

É extremamente importante conhecer a prova da Fuvest. Um dos maiores problemas que os estudantes encontram é identificar qual conteúdo deve ser priorizado. Ou melhor, o que deve ser mais estudado durante a preparação. Uma ótima maneira de prever quais conteúdos podem cair com maior peso é observar as provas anteriores do mesmo vestibular. A Fuvest possui um “perfil” de exame que sofre pouquíssimas alterações ao longo dos anos. É um vestibular previsível. Essa dica também vale para as carreiras que tem Matemática na 2º fase. Nessas situações, é importante que o estudante saiba como resolver as questões dissertativas e não apenas encontre um valor, como ocorre na objetiva. O vestibular também costuma repetir assuntos na prova dissertativa.

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Tendências observadas

Ao observar as últimas provas de Matemática na Fuvest, é possível perceber que alguns assuntos se repetem. Portanto, embora seja importante o aluno saber o máximo de conteúdo, alguns pontos ele deve, simplesmente, dominar. Nós do Kuadro observamos algumas características dessa disciplina no vestibular da USP. Confira!

  • A maior parte das questões cobra puramente Matemática básica. Isso evidencia que nem sempre é necessário aprofundar demais nos conteúdos para resolver uma questão da Fuvest. A existência desse tipo de questão só comprova que, para ir bem nessa prova, é fundamental ter uma boa base em Matemática;
  • Um terço da prova de Matemática é geometria, seja ela plana, espacial ou analítica. Uma dica é focar bastante na geometria plana, que sempre é utilizada como ferramenta na resolução de questões de analítica e espacial;
  • Conhecer bem as funções mais comuns (1º e 2º grau, logarítmica, exponencial, trigonométrica e modular) é uma ótima ideia. Além de te ajudar a resolver as questões específicas desse conteúdo, também te fornecem uma boa base para resolução de exercícios de outras partes da Matemática;
  • Análise combinatória é uma matéria que não cai com tanta incidência como as outras que já citamos. Contudo, é interessante ir para a prova preparado e na expectativa de encontrar ao menos uma questão desse conteúdo,
  • Polinômios, sequências, números complexos, sistemas, matrizes e determinantes são matérias bem importantes, mas que não caem com tanta frequência na primeira fase do vestibular da USP. Isso não significa que você pode ir para a prova sem saber esses conteúdos. Mas que você pode priorizar outras partes da Matemática que você sente mais dificuldade quando for estudar.

Conclusão

A Matemática para o vestibular não é um assunto simples, mas também não é um bicho-de-sete-cabeças. Com paciência, empenho e material adequado, qualquer pessoa pode ser dar bem nessa disciplina — até mesmo quem é “de Humanas”. Além de ter um peso importante para a Fuvest, a disciplina também ajuda nos conteúdos de Exatas (Física e Química). Por isso, não negligencie essa matéria tão importante que poderá te levar à aprovação. Seguindo as dicas acima, não tem erro. Você enfrentará de igual para igual a prova objetiva dessa matéria, sem nenhuma dúvida. Mas caso ainda exista alguma, não perca tempo! Escreva aqui nos comentários o que achou e o que mais você deseja descobrir sobre os vestibulares. Além disso, no Kuadro você conta com um excelente cursinho on-line, que inclui aulas dinâmicas e material de qualidade. Aprenda o que cai de Matemática na Fuvest com mais facilidade e esteja mais preparado para alcançar os seus objetivos!

O que cai na prova de Matemática do ENEM?

Apesar de ter 45 questões, a parte de matemática do Enem pode ser mais fácil do que grande parte dos estudantes imaginam. É isso mesmo! Nesse exame, você não vai encontrar questões que exijam conhecimento profundo de assuntos espinhosos ou procedimentos longos e minuciosos.
O Kuadro fez um levantamento e constatou que as questões privilegiam alguns assuntos mais básicos, ensinados, inclusive, durante o Ensino Fundamental. Dessa forma, percebe-se que a prova está preocupada em avaliar o raciocínio em exercícios que se aproximam da realidade.
A matemática no Enem apresenta bastante contextualização. Mas não basta saber interpretar as questões, também é necessário aplicar fórmulas e conceitos para resolvê-las. Saiba mais sobre como essa disciplina é cobrada e estude melhor!

1. Regra de três

Razão e proporção, popularmente conhecido como “regra de três”, é um dos assuntos de matemática mais comuns na prova. Ela permite avaliar o raciocínio do candidato, mesmo quando ele não tem muita informação, mas boa capacidade analítica.
Além de ser cobrada na parte de matemática, a regra de três também é uma ferramenta para resolver outros conteúdos. Em geografia, por exemplo, é possível que haja um exercícios envolvendo escala. Nesse caso, a resolução é feita por meio desse método de razão e proporção.

2. Funções

Geralmente, o Enem apresenta enunciados elaborados, em que propõe a utilização de uma função. Ou seja, nem sempre é explícito. Assim, o estudante precisa saber interpretar a situação apresentada e observar que a função é necessária.
Pode até ser que o exame apresente a expressão f(x), mas não é tão comum de acontecer. Portanto, apesar das contas serem fáceis, o estudante deve se esforçar para desvendar o que a questão deseja.

3. Financeira

A Matemática Financeira também é figurinha carimbada no Enem. Também pudera! Ela permite avaliar domínio de conceitos muito básicos e capacidade de raciocínio, além de proporcionar questões muito interessantes.
Para se dar bem nesse tipo de questão, é importante que o estudante entenda bem de porcentagem e as diferenças entre juros simples e compostos. A Matemática Financeira não é difícil, mas exige atenção. Se o estudante não se atentar, ele pode calcular um valor achando que envolve juros simples, quando na verdade trata-se dos compostos.

4. Geometria

Para quem vai prestar exame para os cursos mais concorridos, quanto mais questões acertar de matemática melhor. Por isso, vale a pena dar uma atenção especial para a Geometria Plana e a Espacial.
Como já dissemos, o Enem prefere cobrar matemática básica. Mas geometria também tem a sua vez, ainda que de forma mais simples. Nessa parte, os estudantes têm que dominar sólidos simples (prismas, esferas e pirâmides), problemas envolvendo triângulos retângulos e áreas de figuras planas. Esses conteúdos representam aproximadamente 25% das questões.

5. Probabilidade e estatística

A forma como a prova cobra Probabilidade e Estatística tende a privilegiar os estudantes mais bem preparados. Como no geral esses temas costumam ser vistos como simples, muitos não o estudam nem treinam o suficiente.
Grande engano! Nesses assuntos, o Enem requer a análise de gráficos e, geralmente, coloca algumas pegadinhas no meio. Em função disso, é importante que o estudante leia atentamente todos os dados do enunciado, resolva a questão e releia para saber se a resposta realmente condiz com o enunciado.
A prova pode, por exemplo, mostrar a probabilidade de determinado evento ocorrer. Mas, em vez de solicitar esse número encontrado pelo estudante, ela pode perguntar qual é a chance de algo não acontecer.

Como tirar de letra a parte de matemática

O primeiro passo para se sair bem em matemática no Enem é não se desesperar. Pode até parecer tolo dizer isso, mas é a verdade. Muitos candidatos perdem o foco quando percebem que o exercício possui um longo enunciado ou gráficos para analisar.
Como já visto, esse conteúdo costuma ser mais fácil do que aparenta ser. Assim, depois de ler a questão, comece a anotar todos os dados do problema e lembre-se das ferramentas que pode usar. É um problema de porcentagem? Análise combinatória? Função?
Manter a calma, ler atentamente e saber o máximo de conceitos é a chave para se sair bem no exame. Na hora de estudar matemática, vale a pena dar enfoque máximo na resolução de exercícios, especialmente dos que já foram cobrados.
Dessa forma, você não terá surpresas quando chegar o dia do exame. Quanto mais tipos de enunciados você tiver contato antes, mais fácil será para reconhecer o que a questão pede e, consequentemente, maiores serão os acertos.
Quer se preparar de verdade para o Enem com quem realmente é especialista em aprovação? Venha para o Kuadro. Temos o melhor cursinho on-line da atualidade, com professores disponíveis para qualquer dúvida e muitos recursos pedagógicos!

Potenciação: definição e operações

Neste post vamos fazer falar sobre Potenciação, apresentando suas definições e propriedades!

Definição de Potenciação

Definimos a operação de Potenciação como uma forma de simplificar a operação de uma sequência de multiplicações. Por exemplo:

  • 2 * 2 = 22
  • 3 * 3  = 32 = 9
  • 2 * 2 * 2  = 23 = 8
  • 3 * 3 * 3 = 33 = 27

Generalizando, podemos escrever: a * a * a * (n vezes) * a = an

  • O número a é chamado de Base da Potência.
  • O número n é chamado de Expoente da Potência.

Leitura

an lê-se: a elavado a n-ésima potência ; a elevado à

  • Quando n = 2, diz-se que o número está elevado ao quadrado;
  • Quando n = 3, diz-se que o número está elevado ao cubo;
  • Quando n = 4, 5 …., diz-se que o número está elevado à quarta potência, quinta potência e assim por diante.

Propriedades a partir da Definição:

  • a1 = a (qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo)
  • a0 = 1 (qualquer número elevado à potencia de 0, o resultado é 1)
  • 1n = 1 (o número 1 elevado à qualquer potência o resultado é sempre 1)
  • 0n = 0 (o número 0 elevado à qualquer potência o resultado é sempre 0)

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Potência com Expoente Inteiro Positivo

Sejam m e n dois números pertencentes ao conjunto dos números Naturais (ℕ) e a e b pertencentes aos números Reais (), temos:

  • am*an=am+n

Multiplicação de Potências de mesma Base: Conserva-se a Base e soma-se os Expoentes.
Perceba que se tivermos: an*a=an+1

  • am/an=am-n

Divisão de Potências de mesma Base: Conserva-se a Base e subtrai-se os Expoentes.

  • \mathbf{(a^m)^{n} = a^{m*n}}

Potência de uma Potência: Conserva-se a Base e multiplica-se os Expoentes.

  • \mathbf{(a*b)^{m} = a^m*b^m}

A Potência do Produto é o Produto das Potências.

  • \mathbf{\left ( \frac{a}{b} \right )^n = \frac{a^n}{b^n}}

A Potência da Divisão (fração) é a Divisão (fração) das Potências.

Exemplos:

a) \mathbf{2^{2}*2^{3}=2^{2+3}=2^{5} = 32}

b) \mathbf{\frac{4^{4}}{4^{2}} = 4^{4-2} = 4^{2} = 16}

c) \mathbf{(3^2)^{2} = 3^{2*2} = 3^{4} = 81}

d) \mathbf{(2*3)^{2} = 2^2*3^2 = 4*9 = 36}

e) \mathbf{\left ( \frac{3}{4} \right )^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}}

Potência com Expoente Inteiro Negativo

Por definição, toda potência com expoente inteiro negativo é o inverso da potência com expoente positivo:
\mathbf{a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}}
E valem as mesmas propriedades vistas para o expoente inteiro positivo, ok?

Exemplos:

a) \mathbf{2^{-2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}}

b) \mathbf{\left (\frac{2}{3} \right )^{-2} = \left (\frac{1}{2/3} \right )^{2} = \left (\frac{3}{2} \right )^{2} = \frac{9}{4}}

Potências de Base 10

Vamos acompanhar esses exemplos:

  • \inline 10^{2} = 10*10 = 100
  • \inline 10^{3} = 10*10*10 = 100
  • 10^{4} = 10*10*10*10 = 10.000
  • Generalizando: \inline 10^{\mathbf{n}} = “1” seguido de n zeros

Observe que o número de zeros após o “1” é igual ao expoente da potência de 10.
Outros casos:

  • 0,1 = \inline \frac{1}{10} = 1*10^{-1}
  • 0,01 = \inline \frac{1}{100} = 1*10^{-2}
  • 0,001 = \inline \frac{1}{1000}=1*10^{-3}

Observe que o número de casas decimais é igual ao negativo do expoente da potência de 10.

Notação Científica

A notação científica permite escrever números usando potências de base 10. Um número expresso em notação científica está escrito como o produto de dois números reais: um número real pertencente ao intervalo [1 ; 9] e uma potência de 10.
Exemplos:

  • 200 = 2*100 = 2*\inline 10^{2}
  • 3.500 = 3,5*1.000 = 3,5*\inline 10^{3}
  • 0,0045 = 4,5/1000 = 4,5*10^{-3}
  • 1.420.000 = 1,42*10^{6}

Além de ser uma forma mais sintética de escrever números grandes, sua principal utilidade é a de fornecer a ideia da ordem de grandeza de um número que, se fosse escrito por extenso, não daria essa informação de modo tão imediato. E sua maior aplicação é melhor representar grandezas de valores muito grandes (como na Astronomia, por exemplo) ou de valores muito pequenos (como na Química, por exemplo).
Exemplos:
a) A distância média da Terra até o Sol é de 149 milhões e 600 mil km:
149.600.000 km  = 1.496*\inline 10^{5} = 1,496*10^{3}*10^{5} = 1,496*\inline 10^{8} km

b) A circunferência da Terra no Equador é de aproximadamente 40 mil km:
40.000 km = 40*\inline 10^{3} = 4*10*\inline 10^{3} = 4*\inline 10^{4} km
c) A massa de um átomo de Oxigênio é de 2,7*10^{-23} g
d) A massa de um átomo de Hidrogênio é de 1,6*\inline 10^{-24} g

Tranquilo? Acompanhou o esse post sobre Potenciação? Espero que sim!
Leia outros resumos aqui: Resumos Teóricos do Kuadro
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Introdução à Álgebra: Equações

No post anterior o resumo teórico foi sobre Introdução à Álgebra. Se não conferiu ainda, você confere aqui. Agora que já sabemos o que são Variáveis e Expressões Algébricas, podemos falar em Equações!

Introdução à Álgebra: Equações

Define-se Equação como a igualdade entre duas expressões algébricas. Simplesmente isso! Seguem abaixo três exemplos de equação:

a) a + b = 7

b) x + 3y = 12

c) 3m = 2n – 11

Guarde isso: A diferença entre uma Equação e uma Expressão Algébrica é que numa equação existe o sinal de igualdade (“=”).

Termos da Equação

O termo de uma equação é definido como o produto de um número por uma variável. Não importa em qual lado da igualdade os termos estão. Também é definido como termo quando um número aparece sozinho. Nesse caso, dá-se o nome de constante para esse termo.

Exemplo 1: Quantos termos têm as equações abaixo:

a) 2a = 6  (dois termos)

b) x – 3y = 0  (três termos)

c) 3p + 4q – 2r = 7  (quatro termos)

Problemas envolvendo Equações

Como nós vimos no post anterior, as expressões algébricas (e portanto as equações) são usadas para traduzir em linguagem matemática problemas do cotidiano, com o objetivo de se achar uma solução para esse problema.
Exemplo 2: Estou lendo um livro de 130 páginas, e estou na página 87. Quantas páginas ainda faltam para o final? Transformando em linguagem matemática: 87 + p = 130, onde p representa a variável “páginas faltantes”.

Exemplo 3: O pai tem o triplo da idade do filho menos 4 anos. Se o pai tem 44 anos, quantos anos tem o filho? Transformando em linguagem matemática: p = 3f -4, onde p e f representam as idades do pai e do filho, respectivamente.

Como resolver esses problemas? Para isso, precisamos achar a solução da equação!

Solução da Equação

Solução de uma equação é o número que, quando colocado no lugar da variável da equação, torna a igualdade verdadeira.
Exemplos:
a) Na equação x + 3 = 5: substituir a a variável x por 2 torna a igualdade verdadeira (2 + 3 = 5) \Rightarrow x = 2 é a solução da equação x + 3 = 5.
b) Na equação 3m + 4 = 7: substituir a variável por 1 torna a igualdade verdadeira (3*1 + 4 = 7) \Rightarrow m = 1 é a solução da equação 3m + 4 = 7.

Técnica para Resolver uma Equação

Resolver uma equação é achar a solução da equação. A técnica clássica é isolar os termos da equação, ou seja, de um lado da igualdade devem ficar os termos contendo as variáveis e, do outro lado, os termos sem variáveis (constantes). Ok?
Atenção: Ao se aplicar essa técnica, deve-se prestar muita atenção para o fato de que um termo, ao mudar de lado da igualdade, muda de operação matemática, ou seja, se o termo for positivo, passa para o outro lado negativo (e vice-versa); se estiver multiplicando, passa para o outro lado dividindo (e vice versa).
Agora vamos usar como referência os Exemplos 2 e 3!

a) 87 + p = 130 \Rightarrow p = 130 – 87 \Rightarrow p = 43 (solução da equação: faltam 43 páginas para o fim do livro)

b) p = 3f – 4 \Rightarrow 44 = 3f – 4 \Rightarrow 44 + 4 = 3f  \Rightarrow 48 = 3\Rightarrow f = \frac{48}{3} \Rightarrow f = 16 (solução da equação: se o pai tem 44 anos, o filho tem 16 anos)

Explicações:
Na letra a), do lado esquerdo da igualdade ficou o termo com a variável (p); o termo 87 que era positivo, passou para o lado direito mudando de sinal, ficando negativo.
Na letra b), para poder resolver a equação, usamos o conceito de atribuir valores à variável visto no post anterior, de Introdução à Álgebra – Variáveis e Expressões Algébricas. Com isso, do lado direito da igualdade ficou o termo com a variável (3f); o termo -4 que era negativo, passou para o lado esquerdo mudando de sinal, ficando positivo. Em seguida, o número 3 está multiplicando a variável f, portanto, ao mudar de lado da igualdade, ele passa dividindo.
Tranquila essa parte da Introdução à Álgebra? Espero que sim!
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Introdução à Álgebra: Variáveis e Expressões Algébricas

Neste post vamos fazer um resumo teórico sobre introdução à Álgebra e definir o que são variáveis e expressões algébricas.

Introdução à Álgebra:

O que é Álgebra?

Álgebra (do árabe al djabr  – “redução”) é o ramo da Matemática que tem como objetivo resolver problemas nos quais as grandezas envolvidas não são imediatamente conhecidas. Para tanto, faz uso de expressões envolvendo variáveis, as quais representam os valores numéricos que se deseja conhecer.
Quando falamos em fórmulas em Matemática, estamos falando de Álgebra!
Por exemplo, a famosa fórmula da área de um triângulo: A_{\Delta}\frac{b*h}{2}, onde b e h são a base e a altura de um triângulo, respectivamente!

Fórmula da área de um triângulo qualquer.

Outro exemplo, a expressão que converte temperatura da escala Celsius para Fahrenheit: \frac{T_{C}}{5} = \frac{T_{F}-32}{9}, onde T_{C} e T_{F} são as temperaturas em Celsius e Fahrenheit, respectivamente!

Escalas de temperatura Celsius e Fahrenheit.

Variáveis

De maneira bem simples: Uma variável é um símbolo (geralmente, uma letra minúscula do nosso alfabeto) que tem como função representar um número! Uma variável também pode ser chamada de incógnita, ou seja “aquilo que não se conhece”.
Observação: Uma sentença matemática que apresenta ao menos uma variável é chamada de Expressão Algébrica.
Por exemplo, na expressão algébrica 27 + x, x é a variável. Se o valor de x for 3, a expressão terá valor: 27 + 3 = 30! Outro exemplo, na expressão 5 – b, se o valor da variável b for 5, então a expressão fica 5 5 = 0.
Mais exemplos de sentenças com valor desconhecido:

Exemplo 1: “Se Pedro tivesse mais 2 pontos na sua nota em história…”

p + 2  (variável p é a nota de Pedro em história)

Exemplo 2: “Com  o dobro da minha mesada mais R$20,00…”

2m + 20  (variável m é a minha mesada)

Observação: Quando um número está multiplicando uma variável (como no Exemplo 2 acima), não é obrigatório escrever o símbolo de multiplicação (“x” ou “*“).
Expressões algébricas podem ter mais de uma variável, sem problema algum! Por exemplo, se alguém diz “a diferença de idade entre Vítor e Jonas é 5 anos”, poderemos escrever essa sentença como: v – j = 5. Tranquilo?

Exemplo 3: Identifique as variáveis nas expressões:

a) 5k+ 1  (variável é k)
b) 19 – y   (variável é y)
c) 2h – 3w   (variáveis são h e w)

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Exemplo 4: Elabore as expressões com variáveis das seguintes sentenças:

a) “Júlio precisa de mais R$3,00 para comprar o ingresso”    R: (j + 3)
b) “A diferença de altura entre Paulo e Cássio…”   R: (p – c)

Variáveis estão presentes em todos os ramos da Matemática.

Atribuindo valores numéricos às Variáveis

Não podemos perder de vista que a função de uma variável é “guardar” o valor desconhecido de uma expressão. Esse valor é numérico e ao se atribuir valores à variável, a expressão muda de valor.
Por exemplo, em Geometria Plana, sabemos que o perímetro (o perímetro em matemática é tradicionalmente representado por 2p) de uma figura plana é a soma dos lados dessa figura. Por exemplo, num quadrado de lado a, temos:

2p = a + a + a + a  \Rightarrow 2p = 4a


Pois bem, seu nós soubermos o lado do quadrado, saberemos quanto vale seu perímetro!

Exemplo 5: Quais os perímetros dos quadrados de lado a) 5m, b) 10m, c) 200m?

a) 2p = 4a = 4*5m \Rightarrow 2p = 20m

b) 2p = 4a = 4*10m \Rightarrow 2p = 40m

c) 2p = 4a = 4*100m \Rightarrow 2p = 400m

Exemplo 6: Ainda falando de perímetro, como fica a expressão algébrica para o períemetro de um retângulo de lado maior m e lado menor n?

Resposta: 2p = m + n + m + n  \Rightarrow 2p = 2m + 2n

Pergunta 1: Considerando o exemplo 6 acima, calcule os perímetros dos retângulos nos seguintes casos:

a) m = 6 e = 4

b) m = 10 e = 7,5

c) m = 2,5 e = 1,25

Um dos objetivo deste post é desmistificar o uso de letras em matemática! Como você pode notar, as letras (na verdade, as variáveis) são muito importantes para a formulação e resolução de problemas!
Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico de introdução à álgebra? Espero que sim!
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Resumo Teórico – Introdução à Estatística – Parte 2

No post anterior fizemos um resumo teórico com uma Introdução à Estatística e falamos de uma medida de posição chamada de Média Aritmética! Se não viu ainda, você confere ele aqui, Neste post, vamos falar das outras medidas de posição. Vamos nessa?

Média Ponderada

Imagine a seguinte situação: Em um determinado concurso, cada disciplina tem peso diferente, conforme a seguir:

Essa situação é bem comum em Vestibulares e Concursos. Certo! E vamos supor que alguém tenha feito esse concurso e tenha tirado as seguintes notas em cada matéria:

Vamos responder à pergunta do Exemplo 1 a seguir:

Exemplo 1: Dado que as matérias têm pesos diferentes entre si, qual a média dessa pessoa no concurso?

Vimos que para calcular a Média Aritmética, bastava somar todos os valores e dividir pelo número de valores.
No caso da Média Ponderada (do latim pendere – “pesar”), considera-se pesos diferentes para cada valor da grandeza que estamos trabalhando – nesse caso, as notas de cada disciplina do concurso.

Definição Formal

Define-se Média Ponderada como a soma dos produtos dos valores quantitativos de uma determinada característica de uma determinada amostra, pelos respectivos pesos que cada um desses valores possuem.
Expressando em formato matemático, temos:

MP = \frac{\left ( x_{1}*p_{1}+x_{2}*p_{2}+x_{3}*p_{3}+...+x_{n}*p_{n} \right )}{p_{1}+p_{2}+p_{3}+...+p_{n}}

Onde:

  • MP  Média Ponderada
  • x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n} ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
  • p_{1},p_{2},p_{3}...p_{n} ⇒ pesos para cada valor quantitativo
  • n  número de elementos na amostra

Aplicando a definição ao Exemplo 1, temos:
MP=\frac{\left (6,0*3+7,0*3+8,0*2+9,0*1 \right )}{3+3+2+1}

MP = \frac{\left (18+21+16+9 \right )}{9} = \frac{64}{9}  ⇒ MP = 7,11

Onde:

  • (6,0 ; 7,0 ; 8,0 ; 9,0) ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra (notas em cada matéria)
  • (3 ; 3 ; 2 ; 1) ⇒ pesos para cada valor quantitativo

Com isso, sabe-se então que a média da pessoa no concurso foi 7,11. Correto?

Pergunta 1: Se em outro concurso caíssem as mesmas matérias e mais Química (peso 3) e a nota da pessoa fosse 7,0, qual seria a média nesse novo concurso?

Pergunta 2: O que aconteceria se os pesos de cada matéria fossem todos iguais a 1?

Confira o vídeo abaixo e consolide o conhecimento adquirido até aqui!

Média Geométrica

A Definição de Média Geométrica é a raiz n-ésima do produto dos valores quantitativos de alguma característica da amostra em estudo.
Matematicamente temos que:  \mathbf{\mathit{\mathbf{MG }}}= \sqrt[n]{\left (x_{1}*x_{2}*x_{3}*...*x_{n} \right )}
Onde:

  • MG  Média Geométrica
  • x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n} ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
  • n  número de elementos na amostra

Calma! Parece complicado mas não é não. Vamos fazer alguns exemplos:

Exemplo 3: Qual a média geométrica entre 3 e 27?

Temos 2 números, portanto n = 2. Então,  \mathit{MG }= \sqrt[2]{3*27} = \sqrt[2]{81} ⇒ MG = 9

Exemplo 4: Qual a média geométrica entre 2, 5 e 6,4?

Temos 3 números, portanto n = 3. Então, \mathit{MG }= \sqrt[3]{2*5*6,4} = \sqrt[3]{64} ⇒ MG = 4

Pergunta 3: Como exercício, faça a média aritmética dos valores dos exemplos 3 e 4 e compare!

Confira o vídeo abaixo para consolidar o conhecimento adquirido:

Média Harmônica

A Média Harmônica é definida como a fração do número de elementos (n) de uma dada amostra dividido pela soma dos inversos dos valores quantitativos da amostra. Matematicamente fica:

\mathbf{\mathit{MH }}= \frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+...+\frac{1}{x_{n}}}

Onde:

  • MH  Média Harmônica
  • x_{1},x_{2},x_{3}...x_{n} ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
  • n  número de elementos na amostra

Vamos fazer alguns exemplos pra ficar claro!

Exemplo 5: Qual a média harmônica entre 3 e 6?

Temos 2 números, portanto n = 2. Então, \mathbf{\mathit{MH }}= \frac{2}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{2}{6}+\frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{3}{6}} = \frac{2}{1}*\frac{6}{3} = \frac{12}{3}MH = 4

Exemplo 6: Qual a média harmônica entre 2, 4 e 8?

Temos 3 números, portanto n = 3. Então, \mathbf{\mathit{MH }}= \frac{3}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}} = \frac{3}{\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}} = \frac{3}{\frac{7}{8}} = \frac{3}{1}*\frac{8}{7} = \frac{24}{7} ⇒MH = 3,43

Pergunta 4: Como exercício, faça a média aritmética dos valores dos exemplos 5 e 6 e compare!

Confira o vídeo abaixo para fixar melhor o conteúdo:

Tranquilo? Acompanhou mais esse resumo tórico da segunda parte de introdução à estatística? Espero que sim!
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Resumo Teórico – Introdução à Estatística – Parte 1

O que é Estatística?

Este resumo teórico vai introduzir conceitos básicos da área de Estatística, que é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como médias (aritmética, ponderada, geométrica, etc.) ou desvio padrão.

Objetivo da Estatística

Tirar conclusões sobre Populações com base nos resultados observados em Amostras extraídas dessas populações.

Alguns Conceitos

População: É o conjunto de elementos com ao menos uma característica comum, a qual deve delimitar claramente quais elementos pertencem à população e quais elementos não pertencem.

Exemplo: duas populações possíveis para um estudo estatístico poderiam ser: 1) a sua família ou 2) a sua sala de aula. Em ambos os casos, é fácil ver que existe um número de indivíduos que pertencem ao grupo 1 ou ao grupo 2 e portanto formam a população daquele grupo.

Amostra: É um  subconjunto de uma população, onde todos os seus elementos serão examinados para efeito da realização do estudo estatístico desejado.

Exemplo: Voltando ao exemplo dos grupos 1 e 2, uma amostra possível para o grupo 1, poderia ser só os seus primos (ficam de fora, seus pais, irmãos, tios, etc.). Já para o grupo 2, poderia ser só as meninas da turma (os meninos ficam de fora, obviamente!). Note que uma Amostra conta sempre com menos indivíduos que o total da População!

No dia a dia: Um exemplo muito corriqueiro do uso da Estatística é quando provamos a comida coletando apenas uma “pitada” do molho, por exemplo. Ora, através dessa prova conseguimos estimar com bastante precisão se falta sal ou não; ou se colocamos muita pimenta… Não é verdade? Você consegue determinar quem seria população e quem seria amostra nesse exemplo?

Medidas de Posição

Muitas vezes é necessário resumir certas características das distribuições de dados por meio de certas quantidades. Essas quantidades são usualmente denominadas de Medidas, por quantificarem alguns aspectos de interesse no estudo.

Exemplo: Qual a média de idade dos seus primos? Ou… Qual a média de altura das meninas da turma?

As principais medidas de posição que caem no vestibular são as Médias: Aritmética, Ponderada, Geométrica e Harmônica.
Neste post, vamos detalhar a definição e uma aplicação da Média Aritmética!

Média Aritmética

Define-se Média Aritmética como a soma dos valores quantitativos de uma característica de uma determinada amostra, dividido pelo número total de elementos da amostra.
Expressando em formato matemático, temos: MA = \frac{(x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n})}{n}
Onde:
MA Média Aritmética
x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n} ⇒ valores quantitativos de uma característica da amostra
n número de elementos na amostra

Exemplificando: Você tem 3 primos: Marcos (17 anos), João (14 anos) e Henrique (8 anos). Analisando o exemplo através da definição apresentada, temos:

  • Amostra de Interesse:                                  seus primos
  • Característica da Amostra:                         idade (em anos)
  • Valores Quantitativos (x1, x2…):               17, 14 e 11
  • Número de Elementos da Amostra (n):    3

Pergunta 1: Qual a Média Aritmética das idades deles? Simples! Basta fazer:

MA = \frac{17+14+8}{3} = \frac{39}{3} \Rightarrow MA = 13

Portanto, a média aritmética da idade dos primos é 13 anos!

Pergunta 2: Se você incluísse mais uma prima sua na amostra (Luíza, com 12 anos), qual seria a nova Média Aritmética da idade dos seus primos?

No vídeo abaixo, temos outros exemplos de Média Aritmética no nosso dia a dia:

Tranquilo? Espero que sim!
Fique sempre de olho no Blog do Kuadro e no Canal do Kuadro para mais Resumos Teóricos. Até mais!
Fonte: Apostila da USP

Cinco canais no Youtube para estudar para o vestibular

Quando chega o fim do dia, depois de uma longa leva de matérias estudadas, nada melhor do que pegar um videozinho no Youtube para relaxar, não é? O conteúdo de entretenimento da plataforma é imenso! Entretanto, você sabia que existe lá muito conteúdo bom para você turbinar os seus estudos para o vestibular?
Então, se você pensa que tudo que está no Youtube é apenas para diversão, está redondamente enganado. Dando uma pesquisada, é possível encontrar diversos canais que abordam temas e matérias que vão te ajudar a mandar benzaço nos processos seletivos.
Está com preguiça de pesquisar? Então nós do Kuadro facilitamos a sua vida. Aqui a gente trouxe cinco canais que vão ser extremamente úteis na hora de botar a mão na massa nos estudos. É unir o útil ao agradável!

Canal Nostalgia

O primeiro canal é também o mais conhecido de todos da lista. Felipe Castanhari (dono, idealizador e apresentador) começou abordando assuntos temáticos a nostalgia  como desenhos, séries, músicas e filmes.
Com o passar do tempo e com o crescimento, começou a produzir um material voltado para a área educacional, com uma pesquisa rica e detalhada sobre fatos históricos. Vale destacar os vídeos sobre a ditadura militar no Brasil e a guerra na Síria.
Além disso, Felipe passou a produzir o Nostalgia Ciência, que trata com temas relacionados a Física, Química e Biologia. O destaque vai para o vídeo em que ele explica que a terra não é plana.

Redação e Gramática Zica

Para quem precisa aprender Português e mandar bem na redação, essa pode ser a melhor escolha. Nele, Pamela Brandão (Youtuber e produtora de conteúdo do canal) explica e tira dúvidas sobre a matéria.
A ideia é passar tudo da forma mais simples e fácil de entender possível. Lá você encontra temas como bom uso do Português, uso dos porquês e emprego da crase.

Youtube Educação

Esse, como diz o nome, é produzido pelo próprio Youtube com parceria da fundação Lemann. Ao todo, são mais de 8 mil videoaulas disponibilizadas de forma gratuita para quem quiser assistir.
Dentro do canal, é possível encontrar material voltado especificamente ao ENEM ou para outros vestibulares. Ele não é específico de uma temática e dá para achar conteúdo para qualquer tipo de matéria.

Biologia Total

Paulo Jubilut, ou simplesmente Professor Jubilut, tem uma história incrível. Em 2011, quando foi demitido do cargo de professor de um cursinho particular, decidiu que iria criar um canal no Youtube para armazenar conteúdo sobre Biologia. A ideia dele era abrir uma loja de sucos e, para não perder o que tinha aprendido com Biologia, gravaria vídeos para ficar para posteridade.
Com poucos recursos, os vídeos começaram a dar certo pela qualidade do conteúdo. Com o passar do tempo, o canal foi crescendo, crescendo, até que o Biologia Total se tornou a principal fonte de sustento de Paulo.
Lá é possível encontrar de tudo sobre Biologia, desde Ecologia até Botânica. É uma mão na roda para quem se dá bem com a área e quer aprofundar, e para quem não se dá e precisa de outra forma para aprender.

reVisão

O canal reVisão é feito por alunos, professores e diretores de cinema. Eles se definem como transdisciplinar, ou seja, que tem acesso a várias disciplinas diferentes e que intercalam elas.
Nele há resumos, entrevistas com especialistas e resoluções de provas com temáticas do ensino médio. Para facilitar as coisas, o canal mescla os conteúdos com cultura pop.
Gostou das escolhas? Tem mais algum para indicar? Então deixe aí nos comentários. Também não se esqueça de acessar o canal do Kuadro que tem muito conteúdo e algumas aulas gratuitas para você acompanhar.

Introdução a geometria: ângulos e retas

    Ângulos

Classificações

·        Ângulo agudo:    α < 90º
·        Ângulo obtuso:    α > 90º
·        Ângulo reto:      α = 90º

Complementares e suplementares

·        complementares: α+β=90º

senα = cosβ

senβ = cosα

·        suplementares:    α+β=180º

senα = senβ

cosα = -cosβ

Razões Trigonométricas de Ângulos Notáveis

razões trigonométricas de ângulos notáveis

 

Outros valores de ângulos notáveis

sen0º = 0                     sen270º = -1
sen90º = 1                   sen360º = 0

cos0º = 1                     cos270º = 0
cos90º=0                     cos360º = 1

Tranformação de graus para radiano

360º ——– 2π
180º ——–  π
90º   ——–π/2

Ângulos em ponteiros de Relógio

1h—30º    …..    60min—30º    …..    1min—0,5º

[one-half-first]

relação entre ângulos dos ponteiros

[/one-half-first]
[one-half]Se o ponteiro dos minutos anda x, o ponteiro da hora anda x/12. Ângulo inicial = 180º;
Quando o ponteiro das horas e minutos formarão α=90º?
|ângulo horas – ângulo min| = 90º -> |120 +  – x | = 90º
x = 5h +  x/12min
[/one-half]

Retas

 

                Retas Oblíquas                                      Retas ortogonais

Retas Obliquas: que se intersectam sem formar ângulos de 90º                                          As retas ortogonais formam ângulos de 90º

             Retas reversas                                            Retas coplanares

Não existe plano que compreende as duas retas reversas                                             Existe um plano que compreende as duas retas coplanares

 

Sobre o Kuadro

Criado em 2015 pelo engenheiro Bruno Werneck e pela bióloga Lucimara Anacleto, o Kuadro é uma plataforma online com foco no período pré-vestibular. Com vídeo-aulas gravadas e ao vivo, a plataforma fornece o material completo, 100% digital, incluindo exercícios, simulados e monitoria para os alunos. Tudo que é oferecido em cursinho presencial por um preço muito mais acessível.
O diferencial do Kuadro é a orientação pedagógica oferecida ao aluno. Com esse apoio, o  processo de aprendizado do aluno é acompanhado de perto, podendo levar seu desempenho ao máximo.
A plataforma oferece quatro turmas distintas para se adequar ao perfil de cada aluno:
– Extensivo, com foco no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM);
– Medicina, destinada a alunos que desejam prestar vestibular para a carreira médica;
– IME-ITA, voltada aos vestibulares do IME, do ITA e semelhantes;
– EsPCEx, específica para a EsPCEx.
Tem interesse em ser um aluno Kuadro? Clique aqui e escolha sua turma.

[VÍDEO] Aula de Matemática: Funções

Depois de trabalhar bastante com a Teoria de Conjuntos em uma aula introdutória e em uma aula sobre funções e relações. O professor Alessandro vai agora estudar os conjuntos relacionados por uma função: domínio, contradomínio e imagem. Apresentar e conceber as propriedades características das funções que as classificam: constante, crescente, decrescente, injetora, sobrejetora, bijetora, periódica, par e ímpar.

Conheça o Kuadro

Gostou da introdução dessa aula sobre Funções? Para ter acesso a todos os conteúdos de nossas aulas, além de também contar com orientações, monitorias e um excelente material didático. Acesse o site do Kuadro e veja qual curso se encaixa mais para o seu objetivo.
Aqui no blog do Kuadro, você vai sempre ter dicas e material super rico para ajudar nos seus estudos. Você pode também acessar nossa página de vídeos para ver outras aulas como essa. E se quiser ter acesso a todo nosso curso, temos um orientador prontinho para te atender. Basta acessar a nosso site e conversar com a gente pelo chat!

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PDF – MÉTODO KUADRO DE APROVAÇÃO

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