Questões de Matemática - IME 2009

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Questão
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(IME 2009) Sejam r, s, t e v números inteiros positivos tais que  . Considere as seguintes relações:  O número total de relações que estão corretas é: 

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(IME 2009) Considere o determinante de uma matriz de ordem n definido por:  Sabendo que , o valor de  é 

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(IME 2009) O valor da expressão:   onde a é um número real e , é:

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Seja ABC um triângulo de lados AB, BC e AC iguais a 26, 28 e 18, respectivamente. Considere o círculo de centro O inscrito nesse triângulo. A distância AO vale:

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(IME 2009) Considere o sistema   onde x e y são números inteiros. O valor de   é:

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(IME 2009) Seja  . O valor de S satisfaz:

Questão
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(IME 2009) Seja o polinômio , onde a e b são números reais positivos diferentes de zero. A soma dos cubos das raízes de  depende 

Questão
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(IME 2009) A quantidade k de números naturais positivos, menores do que 1000, que não são divisíveis por 6 ou 8, satisfaz a condição: 

Questão
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(IME 2009) Considere o sistema abaixo, onde , ,  e Z pertencem ao conjunto dos números complexos.  O argumento de Z, em graus, para que  seja um número real positivo é:  Obs: 

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(IME 2009) Seja . Sendo n um número inteiro positivo, a desigualdade   somente é possível se:

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(IME 2009)  Sejam ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm e r uma reta situada no seu plano, distante  3 cm do seu baricentro. Calcule a área da superfície gerada pela rotação deste triângulo em torno da reta r. 

Questão
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(IME 2009) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F’. A reta r é tangente à elipse no ponto M e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes dos raios vetores MF e MF’ interceptam a reta s em H e H´, respectivamente. Sabendo que o segmento FH mede 2 cm, o comprimento F’H´ é:  

Questão
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Um triângulo isósceles possuiseus vértices da base sobre o eixo das abscissas e o terceiro vértice, B, sobre o eixo positivo das ordenadas. Sabe-se que a base mede b e seu ângulo oposto= 120. Considere o lugar geométrico dos pontos cujo quadrado da distância à reta suporte da base do triângulo é igual ao produto das distâncias às outras duas retas que suportam os dois outros lados. Determine a(s) equação (ões) do lugar geométrico e identifique a(s) curva(s) descrita(s).

Questão
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(IME 2009) Sejam as funções:  f:ℜ→ℜ, g:ℜ→ℜ, h:ℜ→ℜ . A alternativa que apresenta a condição necessária para que se , então  é: 

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