Questões de Matemática - IME 2009 | Gabarito e resoluções

(IME - 2009/2010)Sejam os conjuntostais que. Demonstre que.

(IME - 2009/2010) Sejam r, s, t e v nmeros inteiros tais que. Considere as seguintes relaes: O nmero total de relaes que esto corretas :

(IME - 2009/2010) Trs dados iguais, honestos e com seis faces numeradas de um a seis so lanados simultaneamente. Determine a probabilidade de que a soma dos resultados de dois quaisquer deles ser igual ao resultado do terceiro dado.

(IME - 2009/2010) Considere o determinante de um matriz de ordem n definido por: Sabendo que, o valor de:

(IME - 2009/2010) Considere as hiprboles que passam pelos pontos (4, 2)e (1, 1) e apresentam diretriz na reta y =4. Determine a equao do lugar geomtrico formado pelos focos dessas hiprboles, associados a esta diretriz, e represente o mesmo no plano cartesiano.

(IME - 2009/2010) QUESTO ANULADA O valor da expresso, onde a um nmero real e, : a)-1 b)0 c) d) e)1

(IME - 2009/2010) Seja ABC um tringulo de lados AB, BC e AC iguais a 26, 28 e 18, respectivamente. Considere o crculo de centro O inscrito nesse tringulo. A distncia AO vale:

(IME - 2009/2010)Seja x o valor do maior lado de um paralelogramo ABCD. A diagonal AC divide em dois ngulos, iguais a 30 e 15. A projeo de cada um dos quatro vrtices sobre a reta suporte da diagonal que no o contm forma o quadriltero ABCD. Calcule o permetro de ABCD.

(IME - 2009/2010)A rea da superfcie lateral de uma pirmide quadrangular regular SABCD duas vezes maior do que a rea de sua base ABCD. Nas faces SAD e SDC traam-se as medianas AQ e DP. Calcule o ngulo entre estas medianas.

(IME - 2009/2010) QUESTO ANULADA Considere o sistema: Onde x e y so nmeros inteiros. O valor de: a)14 b)18 c)20 d)32 e)38

(IME - 2009/2010) Demonstre que a matrizonde, pode ser escrita como o quadrado de uma matriz simtrica, com trao igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjuntodos nmeros naturais. Obs.: Trao de uma matriz a soma dos elementos de sua diagonal principal.

(IME - 2009/2010) Seja. O valor de S satisfaz:

(IME - 2009/2010) Seja o polinmioonde a e b so nmeros reais positivos diferentes de zero. A soma dos cubos das razes de p(x) depende Obs.: e representa a base do logaritmo neperiano e ln a funo logaritmo neperiano.

(IME - 2009/2010)Considere o conjunto de nmeros complexos E = {a + b}, onde a e b so inteiros e = cis (2/3). Seja o subconjunto U = {E / E no qual =1}. Determine: a) Os elementos do conjunto U. b) Dois elementos pertencente ao conjunto Y = E - U tais que o produto seja um nmero primo.

(IME - 2009/2010) A quantidade k de nmeros naturais positivos, menores do que 1000, que no so divisveis por 6 ou 8, satisfaz a condio: