Questões de Matemática - IME 2023 | Gabarito e resoluções

Sejatal que. Determine a rea do tringulo no plano complexo cujos vrtices so as razes da equao

Resolva a seguinte inequao parareal:

Para n natural positivo, o nmero On definido como a soma dos n primeiros termos da progresso aritmtica de razo 6 iniciada em 1. Dos 2024 primeiros nmeros On, quantos apresentam resto 1 na diviso por 8 ?

Para cada nmero inteiro, seja. Determine o menor valor depara o qual

Joao nasceu no ano e est prestando vestibular para o IME em 2023. Sejam A, B e C conjuntosde inteiros positivos tais que . Sabe-se que h n funes estritamente crescentes deA para C , bem como de B para C. Observaes: representa o nmero de elementos do conjunto ; uma funo estritamente crescente quando implica . Diante do exposto, determine: a) o nmero de funes estritamente crescentes de A para C em funo de e ; b) o ano no qual Joo nasceu.

Dado um planoe uma retanele contida, sejam A e B pertencentes adois pontos em um mesmo semiplano definido por. O ponto o semtrico aem relao reta. Os segmentos de retaeinterceptam a retanos pontose, respectivamente. Se um ponto da retadistinto de, prove que

Data a equao abaixo o valor de um nmero real Determine: a) os valores de para os quais a equao admite soluo; b) as solues, em radianos, da equao em funo de .

Os pontos A(1, 3), B(2, 6), C(7, 5) e D(7, 3) situam-se sobre lados distintos de um quadrado EFGH. Determine as coordenadas dos vrtices desse quadrado.

Considere uma pirmide triangular regular reta de altura h. Uma esfera de raio r contm os ortocentros das faces laterais da pirmide e o vrtice do qual foi traada a altura da pirmide. Calcule o volume da pirmide em funo de r e h.

(IME - 2023/2024) O nmero de solues inteiras da inequao :

Considere a funo real