Questões de Matemática - IME 2019 | Gabarito e resoluções

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Uma progresso geomtrica formada com os nmeros naturais e , nessa ordem. O possui a mesma mantissa, , do e a caracterstica do . Sabe-se que e que possui o maior valor possvel. O valor da mantissa do :

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Sobre uma reta r so marcados trs pontos distintos A, B e C, sendo que C um ponto externo ao segmento de reta 𝐴𝐵. Determine o lugar geomtrico das intersees das retas tangentes a partir de A e B a qualquer circunferncia tangente reta r no ponto C. Justifique sua resposta.

(IME - 2019/2020) Diversos modelos de placas de identificao de veculos j foram adotados no Brasil. Considere os seguintes modelos de placas e a descrio de sua composio alfanumrica: Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de trs nmeros) Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro nmeros) Modelo 3: ABC1234 (trs letras seguidas de quatro nmeros) Modelo 4: ABC1D23 (trs letras seguidas de um nmero, uma letra e dois nmeros). Sejam as quantidades das combinaes alfanumricas possveis para os modelos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Os nmeros so termos de uma progresso aritmtica com infinitos termos com a maior razo possvel. A soma dos algarismos da razo dessa progresso :

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Considere a progresso geomtrica e a progresso aritmtica com as condies: ; Para que no dependa de , o valor de dever ser:

(IME - 2019/2020 - 2 FASE) Um determinado material radioativo, com volume inicial, manipulado numa usina nuclear. A cada dia o resduo impuro da substncia descartado, atravs de uma ligao por um pequeno orifcio, num invlucro lacrado em formato de paraleleppedo retngulo. No primeiro dia, a quantidadedescartada corresponde a 1/3 do volume inicial do material e, de um modo geral, a quantidadedescartada no n-simo dia dada pela relao:para n 2Determine as dimenses do invlucro (altura, largura e profundidade) onde se armazena o material descartado de modo que o custo de fabricao seja mnimo (isto , a superfcie lateral tenha rea mnima) e tenha capacidade prevista de armazenamento por tempo indeterminado.

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Todos os arcos entre e radianos que satisfazem a desigualdade esto compreendidos entre:

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) O lugar geomtrico definido pela equao representa:

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Um tringulo equiltero projetado ortogonalmente em um plano, gerando um tringulo issceles, cujo ngulo desigual mede . O cosseno do ngulo do plano do tringulo equiltero com o plano de projeo :

(IME-2019/2020 - 1 fase) QUESTO ANULADA!! Em um cubo regular de aresta , os pontos , e pertencentes s trs arestas distintas que partem do vrtice esto a uma distncia de tal que Para que plano seja tangente esfera inscrita no cubo, o valor de : a) b)(Resposta correta, porm como contradiz o que o enunciado estabelece, questo anulada) c) d) e) QUESTO ANULADA!!

(IME - 2019/2020 - 1 FASE) Considere a funo onde um nmero real positivo. Seja a reta secante ao grfico de em e e a reta tangente ao grfico de que paralela reta . A rea do quadriltero formado pela reta , a reta , a reta e a reta unidades de rea. O valor de , em unidades de comprimento, :