Questões de Matemática - UNICAMP 2012 | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 11) Um crculo de raio 2 foi apoiado sobre as retas y = 2x e y = x / 2, conforme mostra a figura abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto de tangncia entre o crculo e a reta y = x / 2. b) Determine a equao da reta que passa pela origem e pelo ponto C, centro do crculo.

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 12) Um topgrafo deseja calcular a distncia entre pontos situados margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topgrafo determinou as distncias mostradas na figura, bem como os ngulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito. a) Calcule a distncia entre A e B. b) Calcule a distncia entre B e D.

(UNICAMP -2012 - 1 FASE) A rea do tringulo OAB esboado na figura abaixo

(UNICAMP - 2012 - 1 FASE) O grmio estudantil do Colgio Alvorada composto por 6 alunos e 8 alunas. Na ltima reunio do grmio, decidiu-se formar uma comisso de 3 rapazes e 5 moas para a organizao das olimpadas do colgio. De quantos modos diferentes pode-se formar essa comisso?

(UNICAMP -2012 - 1 FASE) Um queijo tem o formato de paraleleppedo, com dimenses 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em trs faces. Nesse caso, o nmero de cubos que possuem casca em apenas uma face igual a

(UNICAMP - 2012 - 1 FASE)Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira. As figuras abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes das ligaes entre as ripas, nos quais os parafusos so representados por crculos brancos. Note que cada ripa est presa cerca por dois parafusos em cada extremidade. Os parafusos usados na cerca so vendidos em caixas com 60 unidades. O nmero mnimo de caixas necessrias para construir uma cerca com 100 m de comprimento

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 1) O velocmetro um instrumento que indica a velocidade de um veculo. A figura abaixo mostra o velocmetro de um carro que pode atingir 240 km/h. Observe que o ponteiro no centro do velocmetro gira no sentido horrio medida que a velocidade aumenta. a) Suponha que o ngulo de giro do ponteiro seja diretamente proporcional velocidade. Nesse caso, qual o ngulo entre a posio atual do ponteiro (0 km/h) e sua posio quando o velocmetro marca 104 km/h? b) Determinado velocmetro fornece corretamente a velocidade do veculo quando ele trafega a 20 km/h, mas indica que o veculo est a 70 km/h quando a velocidade real de 65 km/h. Supondo que o erro de aferio do velocmetro varie linearmente com a velocidade por ele indicada, determine a funo v(x) que representa a velocidade real do veculo quando o velocmetro marca uma velocidade de x km/h.

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 2) A planta de um cmodo que tem 2,7 m de altura mostrada ao lado. a) Por norma, em cmodos residenciais com rea superior a 6 m, deve-se instalar uma tomada para cada 5 m ou frao (de 5 m) de permetro de parede, incluindo a largura da porta. Determine o nmero mnimo de tomadas do cmodo representado ao lado e o espaamento entre as tomadas, supondo que elas sero distribudas uniformemente pelo permetro do cmodo. b) Um eletricista deseja instalar um fio para conectar uma lmpada, localizada no centro do teto do cmodo, ao interruptor, situado a 1,0 m do cho, e a 1,0 m do canto do cmodo, como est indicado na figura. Supondo que o fio subir verticalmente pela parede, e desprezando a espessura da parede e do teto, determine o comprimento mnimo de fio necessrio para conectar o interruptor lmpada.

(UNICAMP - 2012 - 2 fase - Questo 3) O nmero ureo uma constante real irracional, definida como a raiz positiva da equao quadrtica obtida a partir de a) Reescreva a equao acima como uma equao quadrtica e determine o nmero ureo. b) A sequncia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... conhecida como sequncia de Fibonacci, cujo n-simo termo definido recursivamente pela frmula Podemos aproximar o nmero ureo, dividindo um termo da sequncia de Fibonacci pelo termo anterior. Calcule o 10 e o 11 termos dessa sequncia e use-os para obter uma aproximao com uma casa decimal para o nmero ureo.