Questões e gabarito - IME 2005

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Questão
2005Matemática

Sejam as somasedefinidas por: Calcule o valor deeem função de n, sabendo querepresenta o maior inteiro menor ou igual a r. SUGESTÃO: Utilize o desenvolvimento do binômio de Newton para.

Questão
2005Matemática

Resolva a equação:

Questão
2005Matemática

Sejam a, b e c as raízes do polinômios p(x) = x3+ rx - t, em que r e t são números não nulos. Determine o valor de a3+ b3+ c3em função de r e t. Demonstre queSn+1+ rSn-1- tSn-2= 0 para todo número natural n maior que ou igual a 2, em que Sk= ak+ bk+ ck, para qualquer número natural k.

Questão
2005Matemática

Considereum tetraedro regular de arestas de comprimento a e uma esfera de raio R tangente a todas as arestas do tetraedro. Em função de a, calcule a) o volume total da esfera; b) o volume da parte da esfera situada no interior do tetraedro.

Questão
2005Matemática

Considere uma elipse de focosF e F e M, um ponto qualquer dessa curva. Traçam-se por M duas secantes MF e MF, que interceptam a elipse em P e P, respectivamente. Demonstre que a soma (MF/FP) + (MF/FP) é constante. Dica: Calcule inicialmente (1/MF) + (1/FP).

Questão
2005Matemática

Considereos pontos P e Q sobre faces adjacentes de um cubo. Uma formiga percorre, sobre a superfície do cubo, a menor distância entre P e Q, cruzando a aresta BC em M e a aresta CD em N, conforme ilustrado na figura. É dado que os pontos P, Q, M e N são coplanares. a) Demonstre que MN é perpendicular a AC. b) Calcule a área da seção do cubo determinada pelo plano que contém P, Q e M em função de BC = a e BM = b.

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