Questões de Matemática - ITA 2007 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2007) Se A, B e C forem conjuntos tais que , , , e , ento , , , nesta ordem

(ITA - 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O nmero de subconjuntos de A com um nmero de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B

(ITA - 2007 - 1a Fase) Considere a equao: Sendo x um nmero real, a soma dos quadrados das solues dessa equao

(ITA - 2007 - 1a Fase) Assinale a opo que indica o mdulo do nmero complexo 1/(1 + i cotg x), x k, k .

(ITA - 2007 - 1a Fase) Considere: um retngulo cujos lados medem B e H, um tringulo issceles em que a base e a altura medem, respectivamente, B e H, e o cı́rculo inscrito neste tringulo. Se as reas do retngulo, do tringulo e do cı́rculo, nesta ordem, formam uma progresso geomtrica, ento B/H uma raiz do polinmio

(ITA - 2007 - 1a Fase) Se as medidas dos lados de um tringulo obtusngulo esto em progresso geomtrica de razo r, ento r pertence ao intervalo

(ITA - 2007 - 1a Fase) Sejam x, y e z nmeros reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base n so nmeros primos satisfazendo logn (xy) = 49, logn (x/z) = 44. Ento logn (xyz) igual a

(ITA - 2007 - 1a Fase) Sejam x e y dois nmeros reais tais que ex, ey e o quocienteso todos racionais. A soma x+y igual a

(ITA - 2007 - 1a Fase) Seja Q(z) um polinmio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos nmeros complexos, cujo coeficiente de z5 igual a 1. Sendo z3 + z2 + z + 1 um fator de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, ento, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos mdulos das razes de Q(z) igual a

(ITA - 2007 - 1a Fase) Sendo c um nmero real a ser determinado, decomponha o polinmio, numa diferena de dois cubos . Neste caso, igual a

(ITA - 2007 - 1a Fase) Sobre a equao na varivel real x, podemos afirmar que

(ITA - 2007 - 1a Fase) Determine quantos nmeros de 3 algarismos podem ser formados com 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, satisfazendo seguinte regra: O nmero no pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido.

(ITA - 2007 - 1a Fase) Seja x um nmero real no intervalo . Assinale a opo que indica o comprimento do menor intervalo que contm todas as solues da desigualdade

(ITA - 2007 - 1a Fase) Assinale a opo que indica a soma dos elementos de , sendo. e

(ITA - 2007 - 1a Fase) Sejam A = (ajk) e B = (bjk), duas matrizes quadradas n x n, onde ajk e bjk so, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B, definidos por , quando j k, , quando j k e O trao de uma matriz quadrada (cjk) de ordem n x n definido por. Quando n for mpar, o trao de A + B igual a