Questões de Matemática - ITA 2008 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sobre a equao polinomial 2x4 + ax3 + bx2 + cx 1= 0, sabemos que os coeficientes a, b, c so reais, duas de suas razes so inteiras e distintas e 1/2 - i/2 tambm sua raiz. Ento, o mximo de a, b, c igual a

(ITA - 2008 - 1a Fase) dada a equao polinomial (a + c + 2)x3 + (b + 3c +1)x2 + (c a)x + (a + b + 4) = 0 com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equao recproca de primeira espcie e que 1 uma raiz, ento o produto abc igual a

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sendo [-/2, /2] o contradomnio da funo arcoseno e [0, ] o contradomnio da funo arcocosseno, assinale o valor de

(ITA - 2008 - 1a Fase) Dada a cnica : x2 - y2 = 1, qual das retas abaixo perpendicular no ponto P = (2,)?

(ITA - 2008 - 1a Fase) O conjunto imagem e o perodo de f (x) = 2 sen2 (3x) + sen (6x) - 1 so, respectivamente,

(ITA - 2008 - 1a Fase) Para x IR, o conjunto soluo de

(ITA - 2008 - 1a Fase) Um subconjunto D de IR tal que a funo f : D IR, definida por injetora, dado por

(ITA - 2008 - 1a Fase) A soma de todas as solues distintas da equao cos 3x + 2 cos 6x + cos 9x = 0, que esto no intervalo 0 x /2, igual a

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o conjunto D = {n ; 1 n 365} e H P (D) formado por todos os subconjuntos de D com 2 elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B H, a probabilidade de a soma de seus elementos ser 183 igual a

(ITA - 2008 - 1a Fase) Considere o tringulo ABC issceles em que o ngulo distinto dos demais, , mede 40. Sobre o lado , tome o ponto E tal que = 15. Sobre o lado , tome o ponto D tal que = 35. Ento, o ngulo vale

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de IN tais que (X - Y) Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6} , Z Y = , W (X - Z) = {7, 8} , X W Z = {2, 4}. Ento o conjunto [X (Z W)] - [W (Y Z)] igual a

(ITA - 2008 - 1a Fase) Sejam r e s duas retas paralelas distando 10 cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e exterior regio limitada por estas retas, distando 5 cm de r. As respectivas medidas da rea e do permetro, em cm2 e cm, do tringulo eqiltero PQR cujos vrtices Q e R esto, respectivamente, sobre as retas r e s, so iguais a

(ITA - 2008 - 2 FASE)Seja C uma circunferncia de raio r e centro O e um dimetro de C.Considere o tringulo equiltero BDE inscrito em C.Traa-se a reta s passando pelos pontos O e E at interceptar em F a reta t tangente circunferncia C no ponto A.Determine o volume do slido de revoluo gerado pela rotao da regio limitada pelo arco e pelos segmentos e em torno do dimetro .

(ITA - 2008 - 2 FASE)Considere a parbola de equao ,que passa pelos pontos (2; 5); (-1; 2) e tal que a; b; c formam, nesta ordem, uma progresso aritmtica. Determine a distncia do vrtice da parbola reta tangente parbola no ponto (2; 5).

(ITA - 2008 - 2 fase) Um tringulo acutngulo de vrtices A, B e C est inscrito numa circunferncia de raio. Sabe-se quemedeemede. Determine a rea do tringulo ABC