Questões de Matemática - ITA 2004 | Gabarito e resoluções

(ITA - 2004 - 1a Fase) Assinale a opo que representa o lugar geomtrico dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equao

(ITA - 2004 - 1a Fase) A soma das razes da equao z3 + z2 -+ 2z = 0, z , igual a

(ITA - 2004 - 1a Fase) Dada a equao x3 + (m + 1)x2 + (m + 9)x + 9 = 0, em que m uma constante real, considere as seguintes afirmaes: I. Se m ]- 6, 6[, ento existe apenas uma raiz real. II. Se m = - 6 ou m = + 6, ento existe raiz com multiplicidade 2. III. m IR, todas as razes so reais. Ento, podemos afirmar que (so) verdadeira(s) apenas

(ITA - 2004 - 1a Fase) Duas circunferncias concntricas C1 e C2 tm raios de 6 cm ecm, respectivamente. Seja AB uma corda C2, tangente C1. A rea da menor regio delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em cm2:

(ITA - 2004 - 1a Fase) A rea total da superfcie de um cone circular reto, cujo raio da base mede R cm, igual tera parte da rea de um crculo de dimetro igual ao permetro da seo meridiana do cone. O volume deste cone, em cm3 , igual a

(ITA - 2004 - 2 FASE )Seja A um conjunto no-vazio. a) Se n(A) = m, calcule n(P(A)) em termos de m. b) Denotando , para todo nmero natural k 1, determine o menor k, tal que n 65000, sabendo que n(A) = 2.

(ITA - 2004 - 2 FASE )Uma caixa branca contm 5 bolas verdes e 3 azuis, e uma caixa preta contm 3 bolas verdes e 2 azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, 2 dados so atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que 4, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retirase uma bola da caixa preta. Qual a probabilidade de se retirar uma bola verde?

(ITA - 2004 - 2 FASE )Determine os valores reais do parmetro a para os quais existe um nmero real x satisfazendo

(ITA - 2004 - 2 FASE )Sendo , calcule .

(ITA - 2004 - 2 FASE )Para b 1 e x 0, resolva a equao em x:

(ITA - 2004 - 2 FASE )Considere a equao , em que d uma constante real. Para qual valor de a equao admite uma raiz dupla no intervalo ?

(ITA - 2004 - 2 FASE )Prove que, se os ngulos internos , e de um tringulo satisfazem a equao sen(3_ + sen(3 ) + sen(3 ) = 0 , ento, pelo menos, um dos trs ngulos , ou igual a 60.

(ITA - 2004 - 2 FASE )Se A uma matriz real, considere as definies: I. Uma matriz quadrada A ortogonal se e s se A for inversvel e II. Uma matriz quadrada A diagonal se e s se aij = 0, para todo i, j = 1, ..., n, com i j. Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que so, simultaneamente, diagonais e ortogonais.

(ITA - 2004 - 2 FASE )Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ngulo de 60. Seja C1 uma circunferncia de 3 cm de raio, cujo centro O se situa em s, a 5 cm de r. Determine o raio da menor circunferncia tangente C1 e reta r, cujo centro tambm se situa na reta s.

(ITA - 2004 - 2 FASE )Sejam os pontos A: (2, 0), B: (4, 0) e P: (3, 5 + ). a) Determine a equao da circunferncia C, cujo centro est situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e tangente ao eixo y. b) Determine as equaes das retas tangentes circunferncia C que passam pelo ponto P.