Questões de Matemática - UNICAMP 2017

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Questão 13
2017Matemática

Diversas padarias e lanchonetes vendem o cafezinho e o cafezinho com leite. Uma pesquisa realizada na cidade de Campinas registrou uma variação grande de preços entre dois estabelecimentos, A e B, que vendem esses produtos com um volume de 60 𝑚𝑙, conforme mostra a tabela abaixo. Produto A B Cafezinho R$ 2,00 R$ 3,00 Cafezinho com leite R$ 2,50 R$ 4,00 a) Determine a variação percentual dos preços do estabelecimento A para o estabelecimento B, para os dois produtos. b) Considere a proporção de café e de leite servida nesses dois produtos conforme indica a figura abaixo. Suponha que o preço cobrado se refere apenas às quantidades de café e de leite servidas. Com base nos preços praticados no estabelecimento B, calcule o valor que está sendo cobrado por um litro de leite.

Questão 14
2017Matemática

Sejam 𝑐 um número real e 𝑓(𝑥) = 𝑥2 4𝑥 + 𝑐 uma função quadrática definida para todo número real 𝑥. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥). a) Determine 𝑐 no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma nula e esboce o respectivo gráfico para 0 𝑥 4. b) Considere os pontos de coordenadas 𝐴 = (𝑎, 𝑓(𝑎)) e 𝐵 = (𝑏, 𝑓(𝑏)), onde 𝑎 e 𝑏 são números reais com 𝑎 𝑏. Sabendo que o ponto médio do segmento é 𝑀 = (1, 𝑐), determine 𝑎 e 𝑏. Gráfico do campo de respostas

Questão 15
2017Matemática

A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em 𝐴, 𝐵 e 𝐶 e raios de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐, respectivamente. a) Determine os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐, sabendo que a distância entre 𝐴 e 𝐵 é de 5 𝑐𝑚, a distância entre 𝐴 e 𝐶 é de 6 𝑐𝑚 e a distância entre 𝐵 e 𝐶 é de 9 𝑐𝑚. b) Para 𝑎 = 2 𝑐𝑚 e 𝑏 = 3 𝑐𝑚, determine o valor de 𝑐 𝑏 de modo que o triângulo de vértices em 𝐴, 𝐵 e 𝐶 seja retângulo.

Questão 16
2017Matemática

Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1. a) Mostre que, se 𝑟 é uma raiz de 𝑝(𝑥), então 1/𝑟 é uma raiz do polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1. b) Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 para os quais a sequência (𝑝(1), 𝑝(0), 𝑝(1)) é uma progressão aritmética (PA), cuja razão é igual a 𝑝(2).

Questão 17
2017Matemática

Sabendo que 𝑚 é um número real, considere o sistema linear nas variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧: a) Seja 𝐴 a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de 𝑚 para os quais a soma dos quadrados dos elementos da matriz 𝐴 é igual à soma dos elementos da matriz 𝐴2= 𝐴 ∙ 𝐴. b) Para 𝑚 = 2, encontre a solução do sistema linear para a qual o produto 𝑥𝑦𝑧 é mínimo.

Questão 18
2017Matemática

Sabendo que 𝑘 é um número real, considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑘 sen 𝑥 + cos 𝑥, definida para todo número real 𝑥. a) Seja 𝑡 um número real tal que 𝑓(𝑡) = 0. Mostre que 𝑓(2𝑡) = 1. b) Para 𝑘 = 3, encontre todas as soluções da equação 𝑓(𝑥)2 +𝑓(𝑥)2 = 10 para 0 𝑥 2𝜋.

Questão
2017Matemática

(UNICAMP - 2017)Considere o triângulo retângulo ABD exibido na figura abaixo,em que AB = 2 cm, BC = 1 cm e CD = 5 cm. Então, o ângulo é igual a

Questão
2017Matemática

(UNICAMP - 2017)Sabe-se que, em um grupo de 10 pessoas, o livro A foi lidopor 5 pessoas e o livro B foi lido por 4 pessoas. Podemosafirmar corretamente que, nesse grupo,

Questão
2017Matemática

(UNICAMP - 2017) Um dado não tendencioso de seis faces será lançado duasvezes. A probabilidade de que o maior valor obtido noslançamentos seja menor do que 3 é igual a

Questão
2017Matemática

(UNICAMP - 2017) sejauma função tal que para todo número real xtemos que. Entãoé iguala

Questão
2017Matemática

(UNICAMP - 2017)Considere as funçõese definidaspara todo número real x. O número de soluções daequaçãoé igual a

Questão
2017Matemática

(UNICAMP - 2017)Considere o quadrado de lado a 0 exibido na figura abaixo.Seja A(x) a função que associa a cada 0 x a a área daregião indicada pela cor cinza. O gráfico da função y = A(x) no plano cartesiano é dado por

Questão
2017Matemática

(UNICAMP - 2017)Sejam a e b números reais. Considere, então, os doissistemas lineares abaixo, nas variáveis x, y e z: e Sabendo que esses dois sistemas possuem uma soluçãoem comum, podemos afirmar corretamente que

Questão
2017Matemática

(UNICAMP - 2017)Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas.O volume desse paralelepípedo é igual a

Questão
2017Matemática

(UNICAMP - 2017 - adaptada)Seja x um número real, 0 x /2, tal que a sequência(tan x , sec x , 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, arazão dessa PA é igual a

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