Questões de Matemática - IME 2018 | Gabarito e resoluções

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Aristeu e seu irmo nasceram nos sculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois j fizeram aniversrio e a idade de cada um deles a soma dos trs ltimos dgitos do ano de seu respectivo nascimento. Qual a soma das idades dos dois irmos?

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Um jogo de domin possui 28 peas com duas pontas numeradas de zero a seis, independentemente, de modo que cada pea seja nica, conforme ilustra a Figura 1. O jogo se desenrola da seguinte forma: 1- Quatro jogadores se posicionam nos lados de uma mesa quadrada. 2- No incio do jogo, cada jogador recebe um conjunto de 7 peas, de forma aleatria, de modo que somente o detentor das peas possa ver seu contedo. 3- As aes ocorrem por turnos no sentido anti-horrio. 4- O jogador com a pea 6|6 coloca-a sobre a mesa e em seguida cada jogador, na sua vez, executa uma de duas aes possveis: a. Adiciona uma de suas peas de forma adjacente a uma das duas extremidades livres do jogo na mesa, de modo que as peas sejam encaixadas com pontas de mesmo valor. b. Passa a vez, caso no possua nenhuma pea com ponta igual a uma das extremidades livres da mesa. 5- Vence o jogo o primeiro jogador que ficar sem peas na mo. No jogo da Figura 2, a sua vez de jogar e voc constatou que o jogador sua direita no possui peas com ponta 5 e o jogador sua frente no possui peas com ponta 0. Voc analisou todas as possveis configuraes de peas que os jogadores podem ter em suas mos e decidiu jogar de modo a garantir que uma das pontas livres da mesa s possa ser usada por uma pea de sua posse, e que esta ser a sua ltima pea em mo. Ao utilizar essa estratgia: a) Quantas configuraes de peas nas mos dos jogadores garantem a vitria do jogo a voc? b) Esta quantidade corresponde a qual percentual do total de configuraes possveis? Observao: A ordem das peas na mo de um jogador no importa.

(IME - 2018/2019) Os ngulosso os termos de uma progresso aritmtica na qual. O valor de:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Definimos a funo f: da seguinte forma: Determine f(f(2019)). Observao : [k] o maior inteiro menor ou igual a k

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Calcule o valor do determinante:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Dadas as funes definidas nos reais : . Mostre que existe uma nica soluo tal que: seja uma funo constante nula, onde

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Seja a inequao: Seja (a,b) um intervalo contido no conjunto soluo dessa inequao. O maior valor possvel para :

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Seja um nmero complexo tal que possui argumento igual a e . Determine o nmero complexo .

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Mostre que os nmeros 16, 24 e 81 podem pertencer a uma PG e obtenha a quantidade de termos dessa PG, sabendo que seus elementos so nmeros naturais.

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Sejam x1, x2 e x3 razes da equao. Sendo aum nmero real, o valor de igual a:

(IME - 2018/2019 - 1 FASE) Sejaum nmero complexo tal que,e. A soma dos inversos dos possveis valores deest no intervalo:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Seja o polinmio 𝑞(𝑥) = 𝑥4 8𝑥3 + 6𝑥2 + 40𝑥 + 25 + 𝑘 que possui valor mnimo igual a 64, onde 𝑘 uma constante real. Determine as razes de 𝑞(𝑥).

(IME - 2018/2019 - 1 FASE ) Definimos a funoda seguinte forma: Definimos a funoda seguinte forma:. Podemos afirmar que:

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) Determine todas as solues da equao 4 𝑠𝑒𝑛2(7𝑥) ∙ cos(2𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛(9𝑥) + 8 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 5 cos(2𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) = 4 no intervalo

(IME - 2018/2019 - 2 FASE) A reta r normal cnica 𝐶, de equao 9𝑥2 4𝑦2 = 36, no pontoe intercepta o eixo das abscissas no ponto B. Sabendo que F o foco da cnica 𝐶 mais prximo ao ponto A, determine a rea do tringulo 𝐴𝐵𝐹.