(UNICAMP - 2005 - 2a fase- Questo 10)Um nmero comp

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 10)

Um número complexo z = x + iy , z 0 , pode ser escrito na forma trigonométrica: \(z=\left | z \right |^{2}(cos\: k\theta +isen\: k\theta)\) , onde\(\left [ z \right ]=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\: \: ,\: \: cos\theta=x/\left | z \right |\)   e  \(sen\theta=y/\left | z \right |\). Essa forma de representar os números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:

\([\left | z \right |\left (cos\theta +isen\theta \right )]^{k}=\left | z \right |^{k}\left (cos\theta +isen\theta \right )\)

que é válida para todo k Z . Use essas informações para:

a) Calcular \(\sqrt{3+i}^{12}\)

b) Sendo \(z=\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\) , calcular o valor de \(1+ z + z^{2} + z^{3} +... + z^{15} .\)