Questões - UNICAMP 2017 | Gabarito e resoluções

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE) Sabe-se que, em um grupo de 10 pessoas, o livro A foi lidopor 5 pessoas e o livro B foi lido por 4 pessoas. Podemosafirmar corretamente que, nesse grupo,

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) Sejam 𝑐 um nmero real e 𝑓(𝑥) = 𝑥2 4𝑥 + 𝑐 uma funo quadrtica definida para todo nmero real 𝑥. No plano cartesiano, considere a parbola dada pelo grfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥). a) Determine 𝑐 no caso em que a abscissa e a ordenada do vrtice da parbola tm soma nula e esboce o respectivo grfico para 0 𝑥 4. b) Considere os pontos de coordenadas 𝐴 = (𝑎, 𝑓(𝑎)) e 𝐵 = (𝑏, 𝑓(𝑏)), onde 𝑎 e 𝑏 so nmeros reais com 𝑎 𝑏. Sabendo que o ponto mdio do segmento 𝑀 = (1, 𝑐), determine 𝑎 e 𝑏. Grfico do campo de respostas

(UNICAMP - 2017- 2 FASE)Ltus uma planta conhecida por uma caracterstica muito interessante: apesar de crescer em regies de lodo, suas folhas esto sempre secas e limpas. Isto decorre de sua propriedade hidrofbica. Gotas de gua na folha de ltus tomam forma aproximadamente esfrica e se deslocam quase sem atrito at carem da folha. Ao se moverem pela folha, as gotas de gua capturam e carregam consigo a sujeira para fora da folha. a) Quando uma gota de gua cai sobre uma folha de ltus, ela quica como se fosse uma bola de borracha batendo no cho. Considere uma gota, inicialmente em repouso, caindo sobre uma folha de ltus plana e na horizontal, a partir de uma altura hi = 50 cm acima da folha. Qual o coeficiente de restituio da coliso se a gota sobe at uma altura de hf = 2 cmaps quicar a primeira vez na folha? b) Considere uma gota de gua com velocidade inicial vi = 3 mm/s deslocando-se e limpando a superfcie de uma folha de ltus plana e na horizontal. Antes de cair da folha, essa gota captura o lodo de uma rea de 2 cm. Suponha que a densidade superficial mdia de lodo na folha de 2,510-3 gramas/cm. Estime a massa da gota de gua e calcule sua velocidade no instante em que ela deixa a folha.

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) Os brinquedos de parques de diverses utilizam-se de princpios da Mecnica para criar movimentos aos quais no estamos habituados, gerando novas sensaes. Por isso um parque de diverses um timo local para ilustrar princpios bsicos da Mecnica. a) Considere uma montanha russa em que um carrinho desce por uma rampa de altura H = 5 m e, ao final da rampa, passa por um trecho circular de raio R = 2 m, conforme mostra a figura a) abaixo. Calcule o mdulo da acelerao no ponto mais baixo do circuito, considerando que o carrinho partiu do repouso. b) Outro brinquedo comum em parques de diverses o chapu mexicano, em que cadeiras so penduradas com correntes na borda de uma estrutura circular que gira com seu eixo de rotao perpendicular ao solo. Considere um chapu mexicano com estrutura circular de raio R = 6,3 m e correntes de comprimento L = 2 m. Ao girar, as cadeiras se elevam 40 cm, afastando-se 1,2 m do eixo de rotao, conforme mostra a figura b) abaixo. Calcule a velocidade angular de rotao do brinquedo. Figuras da folhas de resoluo.

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) A figura abaixo exibe trs crculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em 𝐴, 𝐵 e 𝐶 e raios de comprimentos 𝑎, 𝑏 e 𝑐, respectivamente. a) Determine os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐, sabendo que a distncia entre 𝐴 e 𝐵 de 5 𝑐𝑚, a distncia entre 𝐴 e 𝐶 de 6 𝑐𝑚 e a distncia entre 𝐵 e 𝐶 de 9 𝑐𝑚. b) Para 𝑎 = 2 𝑐𝑚 e 𝑏 = 3 𝑐𝑚, determine o valor de 𝑐 𝑏 de modo que o tringulo de vrtices em 𝐴, 𝐵 e 𝐶 seja retngulo.

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE)Um dado no tendencioso de seis faces ser lanado duas vezes. Aprobabilidade de que o maior valor obtido nos lanamentos seja menor do que3 igual a

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 so nmeros reais, considere o polinmio cbico 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1. a) Mostre que, se 𝑟 uma raiz de 𝑝(𝑥), ento 1/𝑟 uma raiz do polinmio 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1. b) Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 para os quais a sequncia (𝑝(1), 𝑝(0), 𝑝(1)) uma progresso aritmtica (PA), cuja razo igual a 𝑝(2).

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE) sejauma funo tal que para todo nmero real xtemos que. Ento iguala

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) A energia solar a nica fonte de energia do avio Solar Impulse 2, desenvolvido na cole Polytechnique Fdrale de Lausanne, Sua. a) Para aproveitar a energia obtida dos raios solares e poder voar tanto noite quanto de dia, o Solar Impulse 2, de massa aproximada m = 2000 kg, voava em alta altitude e velocidade vdia = 90 km/h durante o dia, armazenando energia solar para a noite. Ao anoitecer, o avio descia para altitudes menores e voava a uma velocidade aproximada de vnoite = 57,6 km/h. Qual a variao da energia cintica do avio entre o dia e a noite? b)As asas e a fuselagem do Solar Impulse 2 so cobertas por 270 m2 de clulas solares, cuja eficincia em converter energia solar em energia eltrica de aproximadamente 25%. O avio tem um conjunto de motores cuja potncia total vale P = 50,0 kW e baterias que podem armazenar at E = 164 kWh de energia total. Suponha que o avio est voando com seus motores a 80% da sua potncia mxima e que as baterias esto totalmente descarregadas. Considerando que a intensidade de energia solar que chega at as clulas solares de 1,2 kW/m2 , quanto tempo necessrio para carregar totalmente as baterias?

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) Sabendo que 𝑚 um nmero real, considere o sistema linear nas variveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧: a) Seja 𝐴 a matriz dos coeficientes desse sistema. Determine os valores de 𝑚 para os quais a soma dos quadrados dos elementos da matriz 𝐴 igual soma dos elementos da matriz 𝐴2= 𝐴 ∙ 𝐴. b) Para 𝑚 = 2, encontre a soluo do sistema linear para a qual o produto 𝑥𝑦𝑧 mnimo.

(UNICAMP - 2017 - 2 FASE) Um instrumento importante no estudo de sistemas nanomtricos o microscpio eletrnico. Nos microscpios pticos, a luz usada para visualizar a amostra em estudo. Nos microscpios eletrnicos, um feixe de eltrons usado para estudar a amostra. a) A vantagem em se usar eltrons que possvel aceler-los at energias em que o seu comprimento de onda menor que o da luz visvel, permitindo uma melhor resoluo. O comprimento de onda do eltron dado por𝜆 = ℎ / (2𝑚𝑒𝐸𝑐 )12, em que 𝐸𝑐 a energia cintica do eltron, 𝑚𝑒~9 1031 kg a massa do eltron e ℎ~6,6 1034 N∙m∙s é a constante de Planck. Qual o comprimento de onda do eltron em um microscpio eletrnico em que os eltrons so acelerados, a partir do repouso, por uma diferena de potencial de 𝑈 = 50 kV? Caso necessrio, use a carga do eltron 𝑒 = 1,6 1019 C. b)Uma forma usada para gerar eltrons em um microscpio eletrnico aquecer um filamento, processo denominado efeito terminico. A densidade de corrente gerada dada por𝐽 = 𝐴𝑇2𝑒((𝑘𝐵𝑇)), em que𝐴 a constante de Richardson, 𝑇 a temperatura em kelvin, 𝑘𝐵 = 1,4 1023 J/K a constante de Boltzmann e , denominado funo trabalho, a energia necessria para remover um eltron do filamento. A expresso para 𝐽 pode ser reescrita comoo 𝑙𝑛(𝐽/𝑇2) = 𝑙𝑛(𝐴)(𝑘𝐵)(1 𝑇), que uma equao de uma reta de 𝑙𝑛(𝐽 𝑇2) versus (1𝑇), em que 𝑙𝑛(𝐴) o coeficiente linear e (𝑘𝐵) o coeficiente angular da reta. O grfico da figura abaixo apresenta dados obtidos do efeito terminico em um filamento de tungstnio. Qual a funo trabalho do tungstnio medida neste experimento?

(UNICAMP - 2017 - 1 FASE)Considere as funese definidaspara todo nmero real x. O nmero de solues daequao igual a

(UNICAMP - 2017)Considere o quadrado de lado a 0 exibido na figura abaixo.Seja A(x) a funo que associa a cada 0 x a a rea daregio indicada pela cor cinza. O grfico da funo y = A(x) no plano cartesiano dado por

(UNICAMP - 2017- 2 FASE) Sabendo que 𝑘 um nmero real, considere a funo 𝑓(𝑥) = 𝑘 sen 𝑥 + cos 𝑥, definida para todo nmero real 𝑥. a) Seja 𝑡 um nmero real tal que 𝑓(𝑡) = 0. Mostre que 𝑓(2𝑡) = 1. b) Para 𝑘 = 3, encontre todas as solues da equao 𝑓(𝑥)2 +𝑓(𝑥)2 = 10 para 0 𝑥 2𝜋.

(UNICAMP - 2017 - 2 FASE) O controle da temperatura da gua e de ambientes tem oferecido sociedade uma grande gama de confortos muito bem-vindos. Como exemplo podemos citar o controle da temperatura de ambientes fechados e o aquecimento da gua usada para o banho. a) O sistema de refrigerao usado em grandes instalaes, como centros comerciais, retira o calor do ambiente por meio da evaporao da gua. Os instrumentos que executam esse processo so usualmente grandes torres de refrigerao vazadas, por onde circula gua, e que tm um grande ventilador no topo. A gua pulverizada na frente do fluxo de ar gerado pelo ventilador. Nesse processo, parte da gua evaporada, sem alterar a sua temperatura, absorvendo calor da parcela da gua que permaneceu lquida. Considere que 110 litros de gua a 30C circulem por uma torre de refrigerao e que, desse volume, 2 litros sejam evaporados. Sabendo que o calor latente de vaporizao da gua L = 540 cal/g e que seu calor especfico c = 1,0 cal/g∙ C, qual a temperatura final da parcela da gua que no evaporou? b) A maioria dos chuveiros no Brasil aquece a gua do banho por meio de uma resistncia eltrica. Usualmente a resistncia constituda de um fio feito de uma liga de nquel e cromo de resistividade = 1,1 x 10-6 ∙m. Considere um chuveiro que funciona com tenso de U = 220 V e potncia P = 5500 W. Se a rea da seo transversal do fio da liga for A = 2,5 x 10-7 m2 , qual o comprimento do fio da resistncia?