(ITA - 2009- 2 fase)Suponha que a equao algbricate

(ITA - 2009 - 2ª fase)

Suponha que a equação algébrica

\(x^{11}+\sum_{n=1}^{10}a_{x}x^{n}+a_{0}=0\)

tenha coeficientes reais \(a_{0}, a_{1},...,a_{10}\) tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma \(\beta+i \gamma _{n}\)  em que \(\beta, \ \gamma _{n} \ \epsilon \mathbb{R}\)  e os \(\gamma _{n},\) \(n=1,2,\ ...,11,\) formaram uma progressão aritmética de razão real \(\gamma \neq 0.\) Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:

I. Se \(\beta=0,\) então \(a_{0}=0\)

II.  Se \(a_{10}=0\), então \(\beta=0\)

III. Se \(\beta=0,\) então \(a_{1}=0\)